多変数複素関数

数学における多変数複素関数論（たへんすうふくそかんすうろん、英: The theory of functions of several complex variables）は、複素多変数の複素数値関数を扱う理論である。複素多変数の複素数関数とは、複素数を成分に持つ n 組全体の成す空間 Cⁿ 上の複素数値関数

$f(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})$

を指す。

単変数の複素解析と同様に、多変数の複素解析においても、任意の写像は扱わず、正則関数のような複素解析的 (complex analytic) な関数（局所的に言えば変数 z_i たちに関する冪級数となっているような関数）についてを扱う。そのような関数は結局のところ、多項式列の局所一様収束極限として得られるような関数ということもできるし、n 次元コーシー・リーマンの方程式の局所解であると言っても同じことである。 多変数の複素解析は単変数の複素解析を拡張した理論であるが、単変数の理論にはない特徴を持っている。

歴史的観点

上述のような関数の多くの例は、19世紀の数学においてよく取り扱われたものであった。例えばアーベル関数やテータ関数の他、ある種の超幾何級数がそのような例として挙げられる。また、ある複素媒介変数に依存する任意の 1 変数関数も、そのような候補として自然に挙げられる。しかしそれらの特徴的な現象は捉えられていなかったため、長年の間、解析学においてその理論の完成は充分なされていなかった。ワイエルシュトラスの予備定理は現在では可換環論に分類されるであろう。それはリーマン面の理論における分岐点の一般化を扱った局所的な一面である分岐を正当化したものである。

1930年代のフリードリヒ・ハルトークスと岡潔の成果により、一般理論の構築がなされ始めた。その当時の同分野における他の研究者には、ハインリヒ・ベーンケ、ピーター・トゥレンおよびカール・シュタインがいる。ハルトークスは、n > 1 のとき任意の解析的関数

$f:\mathbf {C} ^{n}\longrightarrow \mathbf {C}$

に対してすべての孤立特異点は除去可能であるなど、いくつかの基本的な結果を証明した。ここで自然なことであるが、周回積分と類似の概念は扱いがより難しくなる。実際、n = 2 のときある点の周りの積分は 3 次元多様体上で行われる必要がある（実 4 次元を考えるため）が、2 つの分かれた複素変数についての逐次周回積分は 2 次元曲面上の 2 重積分として扱われる必要がある。このことは、留数計算が非常に異なる性質を持つようになることを意味する。

1945年以降、アンリ・カルタンのフランスでのセミナーや、ハンス・グラウエルトおよびラインホルト・レンマートのドイツでの重要な研究によって、理論の形式は著しく変化した。特に解析接続に関してなど、多くの問題が明らかにされた。ここで 1 変数の理論との主要な違いが明らかになる。すなわち、C 内の任意の開連結集合 D に対して、その境界上のどこでも解析接続できない関数を見つけることができるが、n > 1 の場合はそのようにはならない。実際、この種の D はいくらか特殊なもの（擬凸性と呼ばれる条件が課される）となる。極限に接続される、そのような関数の自然な定義域はシュタイン多様体と呼ばれ、それらの性質は層係数コホモロジー群を消失させるものである。実際、理論構成に対する層の有効な使用を導いたあるより明確な基底に関する岡潔の功績を取り上げる必要がある。

さらに進んで、解析幾何（紛らわしいが、これは解析的関数の零点の幾何に関する名称であり、初中等教育で習うような解析幾何学のことではない）や複数変数の保型形式、偏微分方程式などに応用できる基本的な理論が構築された。また複素構造の変形理論や複素多様体は、小平邦彦やドナルド・スペンサーによって一般の形式で表現された。さらに、ジャン＝ピエール・セールの高名な論文 GAGA において、解析幾何 (géometrie analytique) を代数幾何 (géometrie algébrique) へと橋渡す観点が突き止められた。

カール・ジーゲルは、新たな「多複素変数の関数論」にはわずかな関数しか含まれていないことに不平をもらしたことが知られている。すなわち、その理論における特殊関数的な側面は層に従属するものであった。数論に対する興味は、特にモジュラー形式の一般化に注がれる。その古典的な代表例は、ヒルベルトモジュラー形式やジーゲルモジュラー形式である。今日においてそれらは、解析的関数から保型表現が生じるようなアーベル群（それぞれ GL(2) の総実代数体のヴェイユ制限と、シンプレクティック群）と関連付けられている。これはジーゲルの理論と矛盾しないという意味で、近代の理論はそれ自身が異なる方向性を持つものであった。

その後の発展として、佐藤超関数の理論や楔の刃の定理が挙げられるが、それらはいずれも場の量子論から着想が得られているものである。その他、バナッハ環の理論など、多複素変数を扱う分野は数多く存在する。

Cⁿ 空間

最も簡単なシュタイン多様体は、複素数の n 組からなる空間 Cⁿ（複素 n 空間）である。これは複素数体 C 上の n 次元のベクトル空間とみることができて、つまりR 上の次元が 2n である。したがって、集合および位相空間として、Cⁿ は R²ⁿ と等しく、その位相次元は 2n である。

座標を抜きにして述べるならば、複素数体上の任意のベクトル空間は、その 2 倍の次元を持つ実ベクトル空間であって、なおかつ虚数単位 i によるスカラー倍を定義する線型作用素 J (J² = −I) によって複素構造が特定されるようなものということになる。

そのような任意の空間は、実空間として向き付けられている。ガウス平面をデカルト平面と見做したとき、複素数 w = u + iv を掛けるという操作は、実行列

${\begin{pmatrix}u&&-v\\v&&u\end{pmatrix}},$

によって表現される。これは 2 × 2 の実行列で、行列式は

$u^{2}+v^{2}=|w|^{2}\,$

となる。同様に、任意の有限次元複素線型作用素を（上述の形式の 2 × 2 ブロック行列によって構成される）実行列として表現するとき、その行列式は対応する複素行列式の絶対値の自乗に等しい。それは非負の数であるが、このことは複素作用素によって空間の（実）方向が反転されることはないことを意味する。同様のことは Cⁿ から Cⁿ への正則関数のヤコビ行列に対しても適用される。

正則関数

領域 $U\in \mathbb {C} ^{n}$ 上で定義された関数 $f(z)$ が正則であるとは、$f(z)$ が次の 2 つの条件のうちの一つを満たすことである。

(i) 各々の点 $a=(a^{1},\dots ,a^{n})\in U\subset \mathbb {C} ^{n}$ 上で、関数 $f(z)$ は、$U$ で収束するべき級数展開

$f(z)=\sum c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z^{1}-a^{1})^{k_{1}}\cdots (z^{n}-a^{n})^{k_{n}}\,,$

(1)

で表わされる。この方法は、ヴァイエルシュトラス(Weierestrass)の解析的な方法に起源を持つ。

(ii) $f(z)$ が $U$ 上で連続であれば、各々の変数 $z^{\lambda }$ に対して、関数 $f(z)$ が正則関数であることである。すなわち、

${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}^{\lambda }}}=0$

(2)

この方程式は、一般化されたコーシー・リーマンの方程式と呼ばれ、リーマンの微分方程式の方法に起源を持つ（ハルトークスの拡張定理を使うと、(ii) の中の連続性の仮定の必要がない）。

各々の添字 λ に対して、$z^{\lambda }=x^{\lambda }+iy^{\lambda },\quad f(x^{\lambda }+iy^{\lambda })=u^{\lambda }+iv^{\lambda }$ として、通常の 1 変数のコーシー・リーマンの方程式を一般化すると、

${\frac {\partial u}{\partial x^{\lambda }}}={\frac {\partial v}{\partial y^{\lambda }}},\quad {\frac {\partial u}{\partial y^{\lambda }}}=-{\frac {\partial v}{\partial x^{\lambda }}}$.

(3)

を得る。

${\begin{aligned}dz^{\lambda }&=dx^{\lambda }+idy^{\lambda },&d{\bar {z}}^{\lambda }&=dx^{\lambda }-iy^{\lambda }\\{\frac {\partial }{\partial z^{\lambda }}}&={\frac {1}{2}}{\biggl (}{\frac {\partial }{\partial x^{\lambda }}}-i{\frac {\partial }{\partial y^{\lambda }}}{\biggr )},&{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\lambda }}}&={\frac {1}{2}}{\biggl (}{\frac {\partial }{\partial x^{\lambda }}}+i{\frac {\partial }{\partial y^{\lambda }}}{\biggr )}\end{aligned}}$

と置くと、

${\text{Re}}{\biggl (}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}^{\lambda }}}{\biggr )}={\frac {\partial u}{\partial x^{\lambda }}}-{\frac {\partial v}{\partial y^{\lambda }}}=0,\quad {\text{Im}}{\biggl (}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}^{\lambda }}}{\biggr )}={\frac {\partial u}{\partial y^{\lambda }}}+{\frac {\partial u}{\partial x^{\lambda }}}=0$

を通して、上の式 (2) と (3) が同値であることが分かる。

2つの条件 (i) と (ii) の同値性を示すには、(i) → (ii) を証明することは容易である。(ii) → (i) を証明するためには、多変数複素関数についての n 多重円板 (multiple disc) 上でのコーシーの積分公式

$f(z^{1},\dots ,z^{n})={\biggl (}{\frac {1}{2\pi i}}{\biggr )}^{n}\int _{|a^{1}-w^{1}|=r_{1}}\cdots \int _{|a^{n}-w^{n}|=r_{n}}{\frac {f(w^{1},\dots ,w^{n})dw^{1}\cdots dw^{n}}{(w^{1}-z^{1})\cdots (w^{n}-z^{n})}}$

(4)

を使い、式 (1) の中のべき級数展開の係数 $c_{k_{1},\dots ,k_{n}}$ を評価する。1 変数の場合のコーシーの積分公式はある半径 r の円周上での積分であったが、多変数の場合は (4) のように半径が $r_{i}$ の多重円板の円筒の周上の積分である。

1 変数の場合と同様に、多変数の場合でも成立するローラン級数の性質のために、一致の定理が成り立つ。

$G_{1},G_{2}\subset \mathbb {C}$ を領域とし、$G_{1}\cap G_{2}$ を単連結、$f_{1}$ と $f_{2}$ をそれぞれ、$G_{1},G_{2}$ 上の正則関数とし、$z^{0}=x^{0}+iy^{0}\in G_{1}\cap G_{2}$ とする。

$\{z{\bigl |}|z_{j}-z_{j}^{0}|<r_{j},y=y^{0},1\leq j\leq n\}$ 上で $f_{1}=f_{2}$ あれば、$G_{1}\cup G_{2}$ に一意に正則関数 $f$ が存在し、$G_{1}$ 上で $f=f_{1}$、$G_{2}$ 上で $f=f_{2}$ となる。

従って、整関数についてのリウヴィルの定理と最大値原理が多変数の場合にも同様に成り立ち、さらに、逆関数定理や陰関数定理も 1 変数の場合と同様に成り立つ。

解析接続の例

前節で述べたように、多変数の場合には、1 変数の場合と同様な結果が存在するが、多変数の場合には 1 変数と大きく異なった側面もある。たとえば、リーマンの写像定理、ミッタク＝レフラーの定理、ワイエルシュトラスの定理、ルンゲの定理などは、そのまま 1 変数の場合と同様には多変数の場合へは適用できない。次の 2 変数の解析接続の例は、これらの差異を示していて、これが多変数複素関数論の動機のひとつとなった。

多変数複素関数の場合は、解析接続は 1 変数の場合と同じ方法で定義される。すなわち、$U,V$ を $\mathbb {C} ^{n}$ の中の開部分集合とし、$f\in {\mathcal {O}}(U)$ であり、$g\in {\mathcal {O}}(V)$ であるとする。$U\cap V\neq \phi$ と $W$ が $U\cap V$ の連結成分と仮定する。$f|_{W}=g|_{W}$ であるとすると、$h$ は、

$h(z)={\begin{cases}f(z)&z\in U,\\g(z)&z\in V.\end{cases}}$

として定義される。この $h$ のことを $f$ もしくは、$g$ の解析接続と呼ぶ。$h$ は一致の定理により一意に決定されるが、多価関数かも知れない。

1 変数の場合 (n = 1)、任意の開領域 $U\varsubsetneqq \mathbb {C}$ に対し、$U$ 上の正則関数 $f$ が存在し、$U$ を超えて解析接続することができない。すなわち、任意の $a\in \partial U$ に対して、$f={\frac {1}{z-a}}$ は $a$ を超えて解析接続することは不可能である。しかしながら、多変数の場合（$n\geq 2$）には、ある厳密に大きな開領域 ${\widetilde {U}}\varsupsetneqq U$ が存在し、すべての $f\in {\mathcal {O}}(U)$ が ${\tilde {f}}\in {\widetilde {U}}$ へ解析接続できるという現象が起きる。この現象はハルトークス現象 (Hartogs's phenomenon)と呼ばれ、1 変数の場合は起きなかった現象である（ハルトークスの拡張定理を参照）。

関連項目

• 連接層
• カルタンの定理
• クザン問題
• ハルトークスの拡張定理
• ハルトークスの定理
• 双正則性
• 正則領域
• 複素幾何学
• 複素射影空間
• 多実数変数

参考文献

• Behnke, H.; Thullen, P. (1934), Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen 
• Bochner, Salomon; Martin, W. T. (1948), Several Complex Variables 
• Hörmander, Lars, An Introduction to Complex Analysis in Several Variables 
• Krantz, Steven G. (1992), Function Theory of Several Complex Variables 
• Scheidemann, Volker (2005), Introduction to complex analysis in several variables, Birkhäuser, ISBN 3-7643-7490-X