モジュラー形式

数学におけるモジュラー形式（モジュラー-けいしき、英: modular form）は、ある種の函数等式と増加条件を満足する上半平面上の複素解析的函数である。従ってモジュラー形式論は複素解析に属する理論であるが、しかし歴史的には数論とのつながりにこそその主な重要性がある。モジュラー形式は代数的位相幾何学や弦理論などのほかの分野にも現れる。

モジュラー函数（モジュラー-かんすう、英: modular function）は荷重 0 のモジュラー形式である。これはつまりモジュラー群の作用に関して（所定の変形を受ける代わりに）「不変」であることを意味する。そしてそれゆえに、直線束の切断としてではなく、モジュラー領域上の函数として理解することができる。

モジュラー形式論は、もっと一般の場合である保型形式論の特別な場合であり、またそれゆえにいまや、離散群の豊かな理論のもっとも具体的な部分であると見なされる。

格子上の函数としての扱い

モジュラー形式は複素数全体の成す集合 C における格子 Λ の集合上の函数 F で特定の条件

1. 格子 〈α, z〉 が定数 α と変数 z で生成されるならば、F(Λ) は z の解析函数である。
2. α が 0 でない複素数で、αΛ を Λ の各元に α を掛けることによって得られる格子とするとき、F(αΛ) = α^−kF(Λ) を満たす。ここで k はこの形式の荷重と呼ばれる（典型的には正の整数である）定数である。
3. F(Λ) の絶対値は、 Λ の 0 でない最小の元の 0 からの距離が有界である限りにおいて、有界である。

を満足するものとして考えることができる。k = 0 のとき、条件2 は F が格子の相似類にしか依らないことを言っている。これは非常に重要な場合であるが、しかしここで定義した意味での荷重 0 のモジュラー形式は定数函数しかない。条件3 を外して、函数が極を持つことを許せば、荷重 0 の場合の例としてモジュラー函数と呼ばれるものを考えることができる。

この状況を射影空間 P(V) 上の函数を考える際に生じる状況と比較すると有益である。設定としては、ベクトル空間 V 上の函数 F で V の元 v ≠ 0 の成分の多項式となるようなもののうち、等式 F(cv) = F(v) を 0 でない任意のスカラー c について満足するものを考えるのが理想なのだが、困ったことにそのようなものは定数函数しか存在しない。多項式の代わりに分母をつけて有理函数をかんがえれば、F として同じ次数のふたつの斉次多項式の比とすることができる。あるいは F は多項式のままにしておいて、定数 c に関する条件を F(cv) = c^kF(v) と緩めれば、そのような函数は k 次の斉次多項式である。これらは一方では各 k に対して有限次元のベクトル空間を成し、他方では k を変えて、実際に台となる射影空間 P(V) 上の函数となっているような有理函数全体を構成するための分子と分母を求めることができる。

斉次多項式の全体は実際には P(V) 上の函数ではないのだから、P(V) の函数が記述する幾何学的な内容を、本当に斉次多項式が記述できるのかと考えるのは自然である。そのことの代数幾何的な答えは「層（この場合は直線束）の「切断」として考えれば問題ない」である。これは、モジュラー形式についての状況とちょうど対応する話になっている。

楕円曲線上の函数としての扱い

C における任意の格子 Λ は C 上の楕円曲線 C/Λ を決定する。ふたつの格子が同型な楕円曲線を定めるのは、一方にある定数 α を掛けたものが他方に含まれるとき、かつそのときに限る。モジュラー函数は複素楕円曲線の同型類の成すモジュライ空間上の函数と考えることができる。たとえば、楕円曲線の j-不変量は楕円曲線全体の成す集合上の函数とみなせばモジュラーである。モジュラー形式もまたこのように楕円曲線のモジュライ空間上の直線束の切断という幾何学的な方向で攻めるのが有効である。

モジュラー形式 F を複素一変数の函数に変換するのは簡単で、z = x + iy で y > 0 かつ f(z) = F(〈1, z〉) とすればよい（y = 0 とすると 1 と z が格子を生成できないので、y が正である場合にのみに限って考える）。前節の条件2 はここでは、（モジュラー群の作用として）整数 a, b, c, d で ad − bc = 1 を満たすものに対する函数等式

$f\left({az+b\over cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)$

となる。たとえば

$f(-1/z) = F(\langle 1,-1/z\rangle) = z^k F(\langle z,-1\rangle) = z^k F(\langle 1,z\rangle) = z^k f(z)$

などである。このモジュラー函数等式を SL₂(Z) の指数有限部分群に属する全ての行列に対して満たす函数もモジュラー形式の仲間に含め、通常はその部分群を指し示す量を添字に付ける。そうして、レベル N のモジュラー形式（後述）は N を法として単位行列に合同な行列すべてに対して函数等式を満足する（実は、ここで各成分に対して mod N での条件を課して得られた行列の全体は巨大な群を成しているので、これは非常にきつい制約である）。

モジュラー函数

複素変数複素数値の函数 f がモジュラーである、あるいはモジュラー函数とは、以下の条件

1. f は上半平面 H 上で有理型である;
2. モジュラ群 Γ に属する任意の行列 M に対して f(Mτ) = f(τ) を満たす;
3. f のフーリエ級数は
   $f(\tau) = \sum_{n=-m}^\infty a(n) e^{2i\pi n\tau}$
   の形に表され、これは下に有界、つまり e^2iπτのローラン多項式であり、したがって尖点においても有理型である

を満たすものを言う。任意のモジュラー函数がクラインの絶対不変量 j(τ) の有理函数として表され、また j(τ) の有理函数がモジュラー函数となることが示せる。さらに、任意の解析的モジュラー函数はモジュラー形式となるが、逆は必ずしも成り立たないことも示される。モジュラー函数 f が恒等的に 0 でないならば、基本領域 R_Γ の閉包における f の零点の個数と極の個数とは一致する。

一般の定義

正整数 N に対しモジュラー群 Γ₀(N) は

$\Gamma_0(N) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : c \equiv 0 \pmod{N} \right\}$

と定義される。また k を正整数 として、荷重（重さ、重み）もしくはウェイト (weight) k の、階数もしくはレベル (level) N （あるいはレベル群 Γ₀(N)）を持つモジュラー形式 (modular form) とは上半平面上で正則な函数 f であって、任意の

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma_0(N)$

と上半平面上の任意の点 z に対して

$f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)$

を満たし、かつ尖点上で f が有理型となるようなものをいう。ここに「尖点において有理型」であるとは、虚軸の正部分に沿った z → i ∞ なる極限においてモジュラー形式が有理型であることをいう。

f(z + 1) = f(z) すなわち、モジュラー形式が周期 1 を持つ周期函数であり、したがってフーリエ級数展開を持つことに注意。

q-展開

モジュラー形式の q-展開 (q-expansion) は尖点におけるローラン級数、あるいは同じことだが（ノーム (nome) の平方）q = exp(2πiz) のローラン級数として表されるフーリエ級数である。実際、複素函数 "exp" はガウス平面上では消えないので q ≠ 0 だが、実軸の負の部分に沿って w → −∞ とした極限で exp(w) → 0 なので、2πiz → −∞ すなわち虚軸の正の部分に沿って z → i ∞ とした極限で q → 0 である。したがって、q-展開は尖点におけるローラン級数になっている。

「尖点において有理型」というは、負冪の項の係数のうち 0 でないものが有限個しかないという意味であり、したがって q-展開

$f(z)=\sum_{n=-m}^\infty c_n \exp(2\pi inz) = \sum_{n=-m}^\infty c_n q^n.$

は下に有界かつ q = 0 において有理型である。ここに、係数 c_n は f のフーリエ係数であり、整数 m は f の i ∞ における極の位数である。

整形式と尖点形式

「尖点形式」を参照

モジュラー形式 f が尖点においても正則（つまり q = 0 において極を持たない）ならば、整モジュラー形式 (entire modular form) であるという。また f が尖点において有理型だが正則ではないとき、非整モジュラー形式 (non-entire modular form) という。たとえば、 j-不変量は荷重 0 の非整モジュラー形式であり、i ∞ において一位の極を持つ。

モジュラー形式 f が整かつ q = 0 で消えている（したがって c₀ = 0）ならば、f は尖点形式（英: cusp form, 独: Spitzenform）と呼ぶ。このとき、c_n ≠ 0 なる最小の n は i ∞ における f の零点の位数である。

保型因子とその他の一般化

ほかによくある一般化としては、荷重 k が整数で無い場合を許すとか、函数等式に ε(a, b, c, d) なる因子で |ε(a, b, c, d)| = 1 となるようなものが現れるのを許して

$f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = \varepsilon(a,b,c,d) (cz+d)^k f(z).$

とするなどである。ここで ε(a, b, c, d)(cz + d)^k の形の函数はモジュラー形式の保型因子として知られる。

保型因子を許せば、デテキントのエータ函数のような函数も荷重 1/2 のモジュラー形式として理論の範疇に入る。そして例えば、χ が N を法とする ディリクレ指標とすれば、荷重 k でレベル N の、ディリクレ指標 χ を nebentypus にもつモジュラー形式とは、上半平面上で正則な函数 f で任意の

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma_0(N)$

と上半平面上の点 z について

$f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = \chi(d)(cz+d)^k f(z)$

を満足し、かつ任意の尖点上で正則となるものをいう。これが任意の尖点上で消えているなばら尖点形式と呼ぶのは同様である。

例

最も平易な例はアイゼンシュタイン級数の観点からのものである。任意の整数 k > 2 に対して E_k(Λ) を、Λ のすべての非零ベクトル λ に亘る λ^−k の和

$E_k(\Lambda) = \sum_{\lambda\in\Lambda\smallsetminus 0}\lambda^{-k}$

として定義する。条件 k > 2 は収斂のために必要である。この条件は k が偶数のとき λ^−k が (−λ)^−k と打ち消しあうのを防ぐ。

Rⁿ における単摸偶格子 L は単摸（行列式 1 の）行列の n 本の列ベクトルで生成され、L における各ベクトルの長さの平方が偶数であるという条件を満足する格子である。ポワソン和公式の帰結として、テータ函数

$\vartheta_L(z) = \sum_{\lambda\in L}e^{\pi i \Vert\lambda\Vert^2 z}$

は荷重 n/2 のモジュラー形式である。単摸偶格子の構成は簡単なものではないが、ここに一つ方法がある。n を 8 で割れる整数とし、Rⁿ のベクトル v で、 2v の各成分が全て偶数あるいは全て奇数であり、かつ v の成分の和が偶数、となるようなもの全てを考える。このような格子を L_n とする。n = 8 のとき、これは E₈ と呼ばれるルート系のルートによって張られる格子である。なぜならば、荷重 8 のモジュラー形式はスカラー倍の違いを除いて

$\vartheta_{L_8\times L_8}(z) = \vartheta_{L_{16}}(z)$

ただ一つであるにもかかわらず、格子 L₈ × L₈ と L₁₆ は相似ではないからである。ジョン・ミルナーは R¹⁶ をこれらふたつの格子で割って得られる 16-次元トーラスは互いに等スペクトルだが等距でないコンパクトリーマン多様体の例を与えることを注意している。

デテキント・エータ函数は

$\eta(z) = q^{1/24}\prod_{n=1}^\infty (1-q^n),\ q = e^{2\pi i z}$

と定義され、モジュラー判別式 Δ(z) = η(z)²⁴ は荷重 12 のモジュラー形式である。この 24 という数は、次元 24 をもつリーチ格子 に関係する。有名なラマヌジャン予想は、任意の素数 p に対して q^p の係数は絶対値 2p^11/2 以下であることを主張するものであり、ピエール・ドリーニュによってヴェイユ予想に関する研究の結果として解決された。

二番目と三番目の例はモジュラー形式と数論における（二次形式による整数の表現や分割函数のような）古典的な問題との関連にいくつかの手がかりを与えるものである。モジュラー形式と数論との極めて重大な概念的つながりがヘッケ作用素の理論によって提供される（これはまたモジュラー形式論と表現論との関連も与えるものである）。

一般化

モジュラー形式の（上で述べたものの更なる）一般化としては、いくつかの概念が存在する。複素解析的であるという仮定は強い仮定であるので、一般化に際しては落とすことになる。

マース形式はラプラス作用素の実解析的固有函数だが正則でなくともよい。弱マース・ウェーブ形式の正則部分は本質的にラマヌジャンの擬テータ函数 となることがわかる。マース形式に作用する群として SL₂(Z) の部分群でないようなものを考えることはできない。

ヒルベルト・モジュラー形式は、いずれも上半平面に属する n 個の複素変数をもつ函数で、総実代数体を成分に持つ 2 × 2 行列に対してモジュラー関係式を満足するものである。

ジーゲル・モジュラー形式は、本項で述べたモジュラー形式が SL₂(R) に対応付けられるものであるというのと同じ意味で、巨大な斜交群に対応付けられるものである。別な言い方をすれば、モジュラー形式が楕円曲線に関連付けられる（このことを強調するために楕円モジュラー形式と呼ばれることがある）ものであるというのと同じ意味で、ジーゲル・モジュラー形式はアーベル多様体に関連付けられるものである。

ヤコビ形式は、モジュラー形式と楕円函数とを混ぜたものである。そのような函数の例はヤコビのテータ函数と種数 2 のジーゲル・モジュラー形式のフーリエ係数という非常に古典的なものだが、ヤコビ形式が通常のモジュラー形式論と非常に類似した算術理論を持つという知見が得られたのは比較的最近になってからのことである。

保型形式はモジュラー形式の概念を一般のリー群に対して拡張したものである。

歴史

モジュラー形式論はいくつかの段階を経て発展してきた。はじめは、19世紀前半の楕円函数論に繋がる部分である。その後フェリックス・クラインらによって、19世紀の終わりにかけて（一変数の）保型形式の概念が理解されるようになり、エリック・ヘッケによって1925年頃から、また1960年代に、数論からの需要、とくに（かつて「谷山・志村予想」と呼ばれた）モジュラー性定理の定式化において、モジュラー形式の深い関わりが明らかにされた。

体系的な用語法としての「モジュラー形式」の語は、ヘッケによるものである。

参考文献

• Jean-Pierre Serre: A Course in Arithmetic. Graduate Texts in Mathematics 7, Springer-Verlag, New York, 1973. Chapter VII provides an elementary introduction to the theory of modular forms.
• Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0
• Goro Shimura: Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1971. Provides a more advanced treatment.
• Stephen Gelbart: Automorphic forms on adele groups. Annals of Mathematics Studies 83, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1975. Provides an introduction to modular forms from the point of view of representation theory.
• Robert A. Rankin, Modular forms and functions, (1977) Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-21212-X
• Stein's notes on Ribet's course Modular Forms and Hecke Operators
• Erich Hecke: "Mathematische Werke" , Goettingen, Vandenhoeck & Ruprecht, 1970.
• NP Skoruppa, D Zagier Jacobi forms and a certain space of modular forms, Inventiones Mathematicae, 1988, Springer