リーマン・ロッホの定理

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リーマン・ロッホの定理(リーマン・ロッホのていり、: Riemann–Roch theorem)とは、複素解析代数幾何学などで用いられる、リーマン面の位相的な性質を代数的な性質と結びつける定理である。特定の零点をもつ有理型関数空間の次元計算に役立つ。リーマン・ロッホの定理は、連結なコンパクトリーマン面の複素解析を、純粋トポロジー的な種数 g である曲面に、純粋に代数的な設定を通して関連付ける。

まず、ベルンハルト・リーマンRiemann (1857)リーマンの不等式(Riemann's inequality)を証明した。短い間ではあったが、リーマンの学生であったグスタフ・ロッホが、Gustav Roch (1865)で決定的な形に到達した。その後、この定理は代数曲線上や高次元代数多様体に一般化され、さらにそれを超えた一般化もなされている。


導入[編集]

種数[編集]

種数(genus) g の連結コンパクトリーマン面とそれ上の点Pを考える。そして次のようなベクトル空間の列を考える。

{(極を持たない関数全体), (点Pでせいぜい1位の極を持つ関数全体), (点Pでせいぜい2位の極を持つ関数全体), (点Pでせいぜい3位の極を持つ関数全体), …}

これらのベクトル空間は有限次元である。種数 g = 0 の時はベクトル空間の次元の列は 1, 2, 3, …となり, 種数g=1の時はベクトル空間の次元の列は 1, 1, 2, 3, 4, 5, …となる。

種数 3 のリーマン面

リーマン面[編集]

リーマン面 X とは、局所的には複素数の集合である C の開部分集合と同相である位相空間を言う。加えて、これらの開集合の間には変換写像英語版(transition map)には、正則性も要求される。正則性条件は、曲面 X への C 上の正則でしかも有理型函数を扱う複素解析学の考え方と方法を映し出すことが可能となる。リーマン・ロッホの定理の目的のため、曲面 X はいつもコンパクトであることを仮定する。さらに言うと、リーマン面の種数 g はリーマン面のハンドル体(把手体)の数のことで、例えば、右の図に示したリーマン面の種数は 3 である。さらに詳しくは、種数は第一ベッチ数の半分として定義され、つまり、複素数係数の第一特異ホモロジー英語版 H1(X, C) の C-次元の半分である。種数は、コンパクトリーマン面を同相を同一視して分類英語版する。すなわち、2つのそのような面が同相であること(微分同相である必要はない)と、それらの種数が等しいこととは同値である。従って、種数はリーマン面の重要な位相不変量である。他方、ホッジ理論は、種数が X の上の正則 1-形式の空間の(C-)次元に一致するので、種数はまたリーマン面についての複素解析的な情報をエンコードしている。[1]


因子[編集]

因子 D は曲面の点の作る自由アーベル群英語版の元のことである。同じことだが、因子は整数係数の曲面上の点の有限の線型結合である。

任意の有理型函数 f は次のように定義し因子 (f) を生成する(生成する因子を (f) と書く)。

(f):=\sum_{z_\nu \in R(f)} s_\nu z_\nu

ここに R(f) は f のすべてのゼロ点と極の集合で、sν

s_\nu := a  z_\nuがオーダーが a のゼロ点のとき
s_\nu := -a  z_\nuがオーダーが a の極のとき

で与えられる。


集合 R(f) は有限であることが知られていて、このことは X がコンパクトであるということと、(ゼロでない)正則函数が集積点を持たないという事実の結果である。従って (f) はwell-definedである。この形の任意の因子を主因子と呼ぶ。主因子の分だけ異なる2つの因子を線型同値と呼ぶ。有理型1-形式の因子は同様に定義される。大域的な有理型 1-形式の因子は、(記号 K で普通表し)標準因子と呼ぶ。任意の2つの有理型 1-形式は、線型同値な因子となるので、標準因子は線型同値を同一視すると一意に定まる(よって、標準因子と呼ぶ)。


次数(degree)[編集]

記号 deg(D) は、因子 D の次数を表す。つまり、D の持っている係数の和である。これは、大域的な有限型函数の因子がいつも次数 0 であるから、因子の次数は線型同値に依存していることを示している。


数値 \ell(D) は最初に興味が向く量であり、曲面上の有理型函数 h のベクトル空間の次元(複素数C上の)ことである。(h) + D の係数(の和)はすべては非負である。直感的には、このことを次のように考えることができる。すべての有理型函数が、すべての点での極が対応する D の係数よりも小さい極を持つようなことはない。z で D の係数が負であれば、h は少なくとも z で多項式の重根であることが要求される。もし D で係数が正であれば、h は最大でそのオーダーの極を持つことができる。因子の線型同値類は、自然に多重度を通して大域的有理型函数と同型となる(スカラー倍を除外して)。

定理[編集]

X をコンパクトなリーマン面とし, \mathcal O_X をその上の正則関数の層とする。

X 上の任意の因子を D, 標準因子を K_X とし, l(D) = \dim H^0 (X, \mathcal O_X (D)) に対して,

l(D)\ -\ l(K_X-D)\ =\ \deg(D)\ +\ 1\ -\ g

が成り立つ。

解説[編集]

典型的には、\ell(D) は注目している量のひとつであり、一方、\ell (K - D) は補正項と考えることが出来る。(特別なインデックスともよぶ[2][3])従って、定理は大まかに言い換えると、

次元'補正 = 次数 − g + 1.

補正項 \ell (K - D) はいつでも非負であり、従って、

\ell(D)\ge \text{deg}(D) - g + 1

となる。これをリーマンの不等式と呼ぶ。定理の中のロッホの部分は、不等式の両辺の間のありうる差異の記述の部分である。種数 g のリーマン面上で、 K は次数 2g − 2 であるので、因子を表現するために選ばれた有理型函数とは独立である。このことは、定理の中で D = 0 をとることから導かれる。特に、D が少なくとも 2g − 1 の次数のときは、補正項は 0 となるので、

\ell(D) = \text{deg}(D) - g + 1

となる。

ここでは、種数が小さいときに説明をしようとしている。他にも密接に関連した定理が数多くあり、この定理の定式化と同値なラインバンドルを使った定式化や、代数曲線への定理を一般化定理がある。


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定理は問題の曲面上の点 P をとり、次の数の列を考えることで説明する。

\ell(n \cdot P),\ n \ge 0

すなわち、この値は、P を除きいたるところで正則な函数の空間の次元であり、P では最大 オーダーが n の極を持つことができるとする。従って、n = 0 に対し、函数は整函数であることが要求される。整函数とは曲面 X 上の全体で正則な函数のことを言う。リウヴィルの定理により、そのような函数は必然的に定数となる。従って \ell(0) = 1となる。一般に、列 \ell(n \cdot P) は増加する数列である。


種数 0 の場合[編集]

リーマン面(または、複素射影直線英語版(complex projective line)ともいう)は、単連結であるので、その第一特異ホモロジーはゼロである。特に、種数はゼロである。球は、C の 2つのコピーで被覆することができるので、変換写像英語版は次の式で与えられる。

\mathbf C^\times \ni z \mapsto 1/z.

したがって、C ひとつのコピー上の微分形式 ω = dz は、リーマン面上の有理型微分形式に拡張される。

d(1/z) = -\frac 1{z^2} dz.

であるので、無限遠点に極を持っている。このように、その因子 K := div(ω) = −2P (ここに P は無限遠点)である。

したがって、この定理は、数列 \ell(n \cdot P)

1, 2, 3, ... .

である。この列はまた、部分分数分解からも導出することが可能である。結論として、この列がこのように始まると、種数 g は必然的にゼロとなる。

種数 1 の場合[編集]

トーラス

次の場合は、リーマン面の種数が g = 1 の場合であり、トーラス C / Λ の場合である。この場合は、Λ は2-次元の格子(群としては、 Z2に同型)である。その種数は、1であり、第一特異ホモロジー群は、右の図に示したように、2つのループにより自由に生成された群である。C上の標準的な座標 z は、いたるところ正則(つまり、極を持たない)な X 上の1-形式 ω = dz である。したがって、標準因子 K は ω であり、ゼロである。

曲面上で、この数列は、

1, 1, 2, 3, 4, 5 ... ;

であり、これは種数 g = 1 を特徴付ける。実際、因子 D = 0 に対し、上で述べたように、\ell(K - D) = \ell(0) = 1 となる。n > 0 である D = nP に対して、K - D は、ゼロではない負の値であるので、補正項は 0 である。次元の列は、楕円函数の理論から導くことができる。

種数が 2 以上の場合[編集]

種数 g = 2 の場合は上記の数列[4]は、

1, 1, ?, 2, 3, ... .

である。このことから、次数 2 の ? のついた項が、点に依存して 1 か 2 になることを示そう。種数 2 の場合には、その数列がちょうど 1, 1, 2, 2, ... となるような 6つの点が存在して、あと残りの点では生成点 1, 1, 1, 2, ... となる。特に、種数 2 の曲線のことを超楕円曲線という。g > 2 に対しては、ほとんどの点で g+1 で始まる数列となり、ほかの数列の点は有限個しか存在しない(ヴァイエルシュトラスの点英語版(Weierstrass point)を参照)ということは常に正しい。


ラインバンドルのリーマンロッホの定理[編集]

リーマン面上の因子と正則ラインバンドル英語版の間の密接な対応関係を使い、異なってはいるが同値な方法で述べることもできる。L を X 上の正則ラインバンドルとする。H^0(X,L) で L の正則切断の空間を表すとする。この空間は有限次元となるので、この空間の次元を  h^0(X,L) で表すとする。K で X 上の標準バンドルを表す。すると、リーマンロッホの定理は、次のように記述できる。

h^0(X,L)-h^0(X,L^{-1}\otimes K)=\textrm{deg}(L)+1-g.

前の章の定理は、L がポイントバンドル英語版のときの特別な場合である。定理は K の g 正則切断や X 上の1-形式が存在していること示すことにも適用できる。L を自明バンドルとすると、X 上の唯一の正則函数は定数函数であるので、 h^0(X,L)=1 である。L の次数はゼロで、L^{-1} は自明バンドルである。このようにして次が得られる。

1-h^0(X,K)=1-g.

したがって、h^0(X,K)=g であり、g 正則 1-形式が存在することを証明したこととなる。

代数曲線のリーマンロッホの定理[編集]

リーマン面上の因子のリーマンロッホ定理の上の定式化の対象はすべて、代数幾何学に類似するものがあります。リーマン面の類似物は、体 k 上の非特異英語版代数曲線 C である。用語の差異(曲線 vs. 曲面)は、実多様体としてはリーマン面の次元は 2 であるが、複素多様体である点である。リーマン面がコンパクトであることは、代数曲線が完備英語版であるという条件と並行して議論することができ、条件は射影的であることに同値である。一般的な体 k 上には、特異(コ)ホモロジーの考え方はないので、いわゆる、幾何種数が次のように定義される。

g(C) := dim_k \Gamma(C, \Omega^1_C)

つまり、この式の値は、大域的に定義された(代数的)1-形式の空間の次元です(ケーラー微分英語版を参照)。結局、リーマン面の有理型函数は局所的には正則函数の分数として表現される。従って、それらは代数多様体の射[5]の局所的な分数である有理函数に置き換えることができる。このようにして、曲線上の有理函数の空間の k 上の次元を \ell(D) と書き、すべての点での極が D での対応する係数より小さくないようにすると、上とまったく同じ公式が成り立つ。

\ell(D) - \ell(K - D) = \text{deg}(D) - g + 1.

ここに C は代数的閉体 k 上の射影的な非特異代数曲線である。事実、同じ公式が任意の体の上の射影曲線に対して成立する。ただし、因子の次数を、基礎体の可能な拡張と因子をサポートする点の剰余体からくる多重度英語版を考えに入れる。[6] 結局、アルティン環の上の固有曲線に対して、因子に付随するラインバンドルのオイラー標数は、(近似的に定義された)因子の次数と構造層 \mathcal O のオイラー標数により与えられる。[7]

定理の中の滑らかさの前提は緩めることができて、代数的閉体の上の(射影的な)曲線に対し、それらのすべての局所環はゴレンシュタイン環英語版(Gorenstein ring)であり、上と同じステートメントが成立し、上記で定義した幾何種数算術種数より ga 置き換えることができる。算術種数は次のように定義され、証明された[8]

g_a := dim_k H^1(C, \mathcal O_C).

(滑らかな曲線は、幾何種数と算術種数が一致する)この定理は一般の特異点を持つ曲線(や高次元の多様体)に対しても成立する。[9]

証明[編集]

代数曲線に対してのステートメントは、セール双対性を使い証明できる。整数 I(D) は D に付随するラインバンドル \mathcal L(D) の大域的切断の空間の次元である(カルティエ因子を参照のこと)。従って、層コホモロジー英語版のことばで、

I (D) = \mathrm {dim} H^0 (X, \mathcal L(D))I (\mathcal K_X - D) = \mathrm {dim} H^0 (X, \omega_X \otimes \mathcal L(D)^\vee)

といった関係式を得る。しかし、曲線という特別な場合の非特異射影多様体に対するセールの双対性は、H^0 (X, \omega_X \otimes \mathcal L(D)^\vee) が双対 \simeq H^1 (X, \mathcal L (D))^\vee に同型であることを言っている。すると、左辺は因子 D のオイラー標数に等しく、D = 0 のとき、構造層、「つまり」定義により 1-g に対するオイラー標数を得る。一般的な因子に対する定理を証明するためには、ひとつひとつ因子を点として追加することができて、そのようにすると、オイラー標数が右辺に代わることを確かめることができる。

コンパクトなリーマン面に対する定理は、GAGA原理と周の定理を使い、代数的なバージョンから導くことができる。事実、すべてのコンパクトリーマン面は、ある複素射影空間の代数方程式によって定義されている。

応用[編集]

次数 d の既約な平面代数曲線は、固有に特異点の数を数えると、(d - 1)(d - 2)/2 - g 個の特異点を持っている。このことは、もし曲線が (d - 1)(d - 2)/2 個の異なる特異点を持っていたとすると、有理曲線となるので、有理パラメータ化が可能である。

リーマン面や代数曲線の間の(分岐)写像に関連するリーマン・フルヴィッツの公式は、リーマン・ロッホの定理の結果である。

特別因子のクリフォードの定理英語版もまた、リーマン・ロッホの定理の結果である。クリフォードの定理は、\ell(D) \ge 0 を満たす特別因子(つまり、\ell(K - D) \ge 0)でに対して、次の不等式が成立する。[10]

l(D) \leq \frac{deg D}2+1.

リーマン・ロッホの定理の一般化[編集]

曲線に対するリーマン・ロッホの定理は、1850年にリーマンとロッホにより証明され、代数曲線に対しては、フリードリッヒ・シュミット英語版により1931年に有限標数完全体英語版についての仕事として証明された。カール・ロケット英語版(Peter Roquette)の書いた [1]に、下記のような記載がある。

F. K. シュミットの第一の重要な結果は、コンパクトリーマン面に対するリーマン・ロッホの定理が、基礎体が有限体の時の函数体への翻訳の辞書として結果とみることができる。実際、任意の完全体(有限体であってもよい)を基礎体とするリーマン・ロッホの定理の証明がなされている。

曲線論の結果は、(例えば、ブリル・ネター理論英語版の中に)この主張の内容を整備しようと試みるという意味では、基本的である。

高次元のバージョンも存在する(適当な因子ラインバンドルの考え方)。これらの定式化は2つの部分へと分解することが可能となる。ひとつは、現在はセール双対性と呼ばれる部分であり、\ell(K - D)層コホモロジー英語版群の第一番目の次元と解釈することであり、あるいは \ell(D) を(層コホモロジーの第0番目の次元、切断の空間の次元と考えると、左辺はオイラー標数となり、右辺はオイラー標数の次数(degree)としてのリーマン面のトポロジーに従って修正する計算となる。

代数幾何学での次元が 2 のときのそのような公式は、代数幾何学のイタリア学派英語版により基礎づけられ、曲面のリーマン・ロッホの定理が証明された(いくつかのバージョンがあり、最初のバージョンはマックス・ネター英語版よる)。そのような扱いが1950年以前に行われている。

n-次元への一般化であるヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理は、フリードリッヒ・ヒルツェブルフ英語版(Friedrich Hirzebruch)により、代数トポロジー特性類の応用として発見され証明された。彼の仕事は小平邦彦の仕事に大きな影響を与えた。同時期に、ジャン・ピエール・セールは、現在では知られているようなセール双対性に一般的な形を与えた。

アレクサンドル・グロタンディークは、1957年に現在はグロタンディーク・リーマン・ロッホの定理英語版(Grothendieck–Riemann–Roch theorem)として知られている遠大な一般化を行った。彼の仕事は多様体に対するリーマン・ロッホの定理であるばかりでなく、2つの多様体の間の射に対するリーマン・ロッホの定理でもある。この証明の詳細は、1958年にボレルとセールにより出版された。

最終的には、(もっとも)一般化されたバージョンは代数トポロジーの中にもある。これらの発展は、本質的には1950年から1960年の間にすべて推し進められた。その後、アティヤ=シンガーの指数定理が一般化の別の道を切り開いた。

連接層の)オイラー標数はどのようなものとなるかは、ある程度合理的に計算が可能である。普通の場合に注目すると、交代和をとることで考えることができ、さらなる議論には消滅定理英語版を使わねばならない。


脚注[編集]

  1. ^ Griffith, Harris, p. 116, 117
  2. ^ Stichtenoth p.22
  3. ^ Mukai pp.295-297
  4. ^ この数列をヴァイエルシュトラス数列という名前が付いている.
  5. ^ もとは、regular mapであり、アフィン代数多様体の間の多項式の写像や対応関係のことを言う。regular mapのうまい訳語がないので、『代数多様体の射』という用語に置き換えた。regular mapは、正則写像と言う。
  6. ^ Liu, Qing (2002), Algebraic Geometry and Arithmetic Curves, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850284-5 , Section 7.3
  7. ^ * Altman, Allen; Kleiman, Steven (1970), Introduction to Grothendieck duality theory, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 146, Berlin, New York: Springer-Verlag , Theorem VIII.1.4., p. 164
  8. ^ Hartshorne, Robin (1986), “Generalized divisors on Gorenstein curves and a theorem of Noether”, Journal of Mathematics of Kyoto University 26 (3): 375–386, ISSN 0023-608X, http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.kjm/1250520873 
  9. ^ Baum, Paul; Fulton, William; MacPherson, Robert (1975), “Riemann-Roch for singular varieties”, Publications Mathématiques de l'IHÉS (45): 101–145, ISSN 1618-1913 
  10. ^ Fulton, William (1989), Algebraic curves, Advanced Book Classics, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-51010-2, http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/CurveBook.pdf , p. 109

参考文献[編集]