デデキントのイータ関数

数学において、デデキントのイータ関数(Dedekind Eta function)は次式で定義される関数である。

$\eta(\tau)=e^{\pi{i}\tau/12}\prod_{m=1}^{\infty}(1-e^{2\pi{i}\tau{m}})\qquad(\image\tau>0)$

ヤコビの三重積の公式により、

$\eta(\tau)=e^{\pi{i}\tau/12}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^n\left(e^{2\pi{i}\tau}\right)^{n(3n-n)/2}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^n\left(e^{2\pi{i}\tau}\right)^{(6n-1)^2/24}\qquad(\image\tau>0)$

となる。イータ関数は上半平面で正則であり、極も零点も持たない。イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。

極と零点

$\image\tau>0$であれば$\left|e^{2\pi{i}\tau}\right|<1$であるから、

$\begin{align}\left|\log\eta(\tau)\right| &=\frac{\left|\pi{i}\tau\right|}{12}+\sum_{m=1}^{\infty}\left|\log(1-e^{2\pi{i}\tau{m}})\right|\\ &=\frac{\left|\pi{i}\tau\right|}{12}+\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left|e^{2\pi{i}\tau{mn}}\right|}{n}\\ &=\frac{\left|\pi{i}\tau\right|}{12}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left|e^{2\pi{i}\tau{n}}\right|}{n(1-\left|e^{2\pi{i}\tau{n}}\right|)}\\ &\le\frac{\left|\pi{i}\tau\right|}{12}+\frac{1}{1-|e^{2\pi{i}\tau}|}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|e^{2\pi{i}\tau{n}}|}{n}\\ &\le\frac{\left|\pi{i}\tau\right|}{12}-\frac{\log(1-|e^{2\pi{i}\tau}|)}{1-|e^{2\pi{i}\tau}|}\\ \end{align}$

である。従って、イータ関数は上半平面で極も零点も持たない。しかし、$\tau=q/r$が有理数であれば$1-e^{2\pi{i}\tau{r}}=0$であるから、イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。

テータ関数との関係

イータ関数はテータ関数で表される。オイラーの分割恒等式を用いて

$\begin{align}\eta^3\left(\tau\right) &=e^{\pi{i}\tau/4}\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-e^{2\pi{i}\tau{m}}\right)^3\\ &=e^{\pi{i}\tau/4}\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-e^{2\pi{i}\tau{m}}\right)^3\left(1+e^{2\pi{i}\tau{m}}\right)^2\left(1-e^{2\pi{i}\tau{(2m-1)}}\right)^2\\ &=e^{\pi{i}\tau/4}\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-e^{2\pi{i}\tau{m}}\right)^3\left(1+e^{2\pi{i}\tau{m}}\right)^2\left(1+e^{(2m-1)\pi{i}\tau}\right)^2\left(1-e^{(2m-1)\pi{i}\tau}\right)^2\\ &=\frac{1}{2}\vartheta_2\left(0,\tau\right)\vartheta_3\left(0,\tau\right)\vartheta_4\left(0,\tau\right)\\ \end{align}$

である。また、

$\begin{align}\eta(\tau) &=e^{\pi{i}\tau/12}\prod_{m=1}^{\infty}(1-e^{2\pi{i}\tau{m}})\\ &=e^{\pi{i}\tau/12}\prod_{m=1}^{\infty}(1-e^{2\pi{i}\tau{m}/3})(1+e^{2\pi{i}\tau{m}/3}+e^{4\pi{i}\tau{m}/3})\\ &=\frac{2}{\sqrt{3}}e^{\pi{i\tau}/12}\cos\frac{\pi}{6}\prod_{m=1}^{\infty}(1-e^{2\pi{i}\tau{m}/3})\left(1+2\cos\frac{\pi}{3}e^{2\pi{i}\tau{m}/3}+e^{4\pi{}i\tau{m}/3}\right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{3}}\vartheta_2\left(\frac{1}{6},\frac{\tau}{3}\right)\\ \end{align}$

である。

モジュラー変換

テータ関数の虚数変換式により

$\begin{align}\eta^3\left(-\frac{1}{\tau}\right) &=\vartheta_2\left(0,-\frac{1}{\tau}\right)\vartheta_3\left(0,-\frac{1}{\tau}\right)\vartheta_4\left(0,-\frac{1}{\tau}\right)\\ &=\sqrt{-i\tau}\vartheta_4(0,\tau)\sqrt{-i\tau}\vartheta_3(0,\tau)\sqrt{-i\tau}\vartheta_2(0,\tau)\\ &=\sqrt{i\tau^3}\eta^3(\tau)\\ \end{align}$

であるが、$\tau$が純虚数であれば両辺ともに実数であるから、

$\begin{align}\eta\left(-\frac{1}{\tau}\right) &=\sqrt{-i\tau}\eta(\tau)\\ \end{align}$

である。また、

$\begin{align}\eta\left(\tau+1\right) &=e^{\pi{i}(\tau+1)/12}\prod_{m=1}^{\infty}(1-e^{2\pi{i}(\tau+1)m})\\ &=e^{\pi{i}/12}e^{\pi{i}\tau/12}\prod_{m=1}^{\infty}(1-e^{2\pi{i}\tau{m}})\\ &=e^{\pi{i}/12}\eta\left(\tau\right)\\ \end{align}$

であるから、イータ関数の24乗は重さ12のモジュラー形式である。

$\begin{align} &\eta^{24}\left(-\frac{1}{\tau}\right)=\tau^{12}\eta^{24}(\tau)\\ &\eta^{24}\left(\tau+1\right)=\eta^{24}\left(\tau\right) \end{align}$