モジュラー曲線

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モジュラー曲線(モジュラーきょくせん)とは、数論代数幾何において、リーマン面またはその代数曲線で複素上半面HのΓ(モジュラー群ともよばれる)の有限指数の合同部分群の作用による商として作られるものである。合同部分群 Γ とは、整数の 2 × 2 の行列 SL(2, Z) の部分群のことである。モジュラー曲線は、この商(拡張された複素上半平面上の作用による)へ有限個の Γ のカスプと呼ばれる点を加えることで得られるコンパクト化されたモジュラー曲線 X(Γ) として使用される。モジュラー曲線の点は、楕円曲線の同型類のパラメーターにもなる。と同時に、群 Γ にも独立な構造をもつ。これにより、モジュラー曲線を(複素解析を使わずに)代数的に定義することができる。さらに、モジュラー曲線を有理数体 Q円分体の上で定義されることも証明できる。この事実の一般化は、数論で基本的に重要なことである。

解析的定義[編集]

モジュラー群 SL(2, Z) は上半平面上に一次分数変換として作用する。モジュラー曲線の解析的定義は、SL(2, Z) の合同群 Γ を選択することであ。つまり、ある正の整数 N に対し、レベル N の主合同部分群英語版(principal congruence subgroup of level N)を選ぶことを意味する。ここに、

\Gamma(N)=\left\{
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d\\
\end{pmatrix}  : \ a, d \equiv \pm 1 \mod N \text{ and } b, c \equiv0 \mod N \right\}

とする。

そのような N の最小の値をΓ のレベルという。複素構造は、\Gamma\backslash\mathbb{H} 上に Y(Γ) と記す非コンパクトリーマン面を得ることができる。

コンパクト化されたモジュラー曲線[編集]

Y(Γ) のコンパクト化は、Γ のカスプと呼ばれる有限個の点を加えることにより得られる。特に、このコンパクト化は、拡張された複素上半平面 H* = HQ ∪ {∞} 上の Γ の作用を考えることにより得られる。基本事項を次のようにして、H* 上にトポロジーを導入する。

  • H の上のすべての開集合
  • すべての r > 0 に対し、集合 \{\infty\}\cup\{\tau\in \mathbf{H} \mid\text{Im}(\tau)>r\}
  • すべての互いに素な整数 a, c と m, n は an + cm = 1 となる整数 m, n と、すべての r > 0 に対し、作用
\begin{pmatrix}a & -m\\c & n\end{pmatrix}
の下で、\{\infty\}\cup\{\tau\in \mathbf{H} \mid\text{Im}(\tau)>r\} の像

これは、 H* をリーマン球面 P1(C) の部分集合へ変える。群 Γ は部分集合 Q ∪ {∞} 上へ作用し、Γ のカスプと呼ばれる有限個の軌道へ分解する。Γ が Q ∪ {∞} 上に推移的に作用すると、空間 \Gamma\backslash\mathbb{H}*\Gamma\backslash\mathbb{H}アレクサンドロフのコンパクト化英語版(Alexandroff compactification)となる。繰り返すが、複素構造は商 \Gamma\backslash\mathbb{H}* を既にコンパクトとなった X(Γ) と書かれるリーマン面へ変える。この空間は Y(Γ) の空間のコンパクト化である[1]

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最も知られている例は、曲線 X(N), X0(N) と X1(N) であり、それぞれ部分群 Γ(N), Γ0(N) と Γ1(N) を伴っている。

モジュラー曲線 X(5) は種数 0 を持ち、正二十面体の頂点に 12個のカスプを持つリーマン球面である。被覆 X(5) → X(1) はリーマン球面上の20面体群英語版(icosahedral group)の作用である。この群は位数 60 の単純群で、A5 と PSL(2, 5) とに同型である。

モジュラー曲線 X(7) は、カスプを 24個持つ種数 3 のクライン二次曲面英語版(Klein quartic)である。この曲面は、各々の面の中心にカスプを持ち、24個の 7角形に 3つのハンドルをタイリングした曲面と解釈することができる。これらのタイリングは、dessins d'enfants[2]バイリ函数英語版(Belyi function)を通して理解することができる。

X0(N) には、明確な古典モデルである古典モジュラー曲線英語版(classical modular curve)が存在し、これを「モジュラー曲線」という場合もある。Γ(N) の定義は次のように言い直すこともできる。Γ(N) は、N の合同式である modulo N のリダクションの核であるモジュラー群の部分群である。従って、Γ0(N) は、modulo N での上三角行列の中のさらに大きな行列の部分群で

\left \{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}  : \ c\equiv 0 \mod N \right \}

であり、Γ1(N) は中間群であり、

\left \{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}  : \ a\equiv 1\mod N, c\equiv 0 \mod N \right \}

で定義される。

これらの曲線は、レベル構造を持った楕円曲線モジュライ空間としての直接、解釈され、この理由で、数論幾何英語版(arithmetic geometry)で重要な役割を果たす。レベル N のモジュライ曲線 X(N) は、N-捩れを基底としてもつ楕円曲線のモジュライ空間である。X0(N) と X1(N) に対し、レベル構造は、それぞれ、位数 N の巡回部分群、位数 N の点である。これらの曲線は、非常に詳しく研究されており、特に、X0(N) は Q 上で定義することができる。

モジュラ曲線を定義する方程式は、モジュラー方程式英語版(modular equation)の最も良く知られた例である。この「最良のモデル」は楕円函数論から直接得られる理論とは非常に異なっている。ヘッケ作用素は、モジュラ曲線のペアを数える対応として、幾何学的に研究されている。

注意: コンパクトな H の商は、モジュラ群の部分群以外に、フックス群英語版(Fuchsian group) Γ に対し発生する。これは、四元数からくる構成されるこれらのクラスは、数論でも興味がもたれている。

種数[編集]

被覆 X(N) → X(1) がガロア的であり、ガロア群 SL(2, N)/{1, −1} を持っており、N が素数であれば PSL(2, N) と同じにんなる。リーマン・フルヴィッツの公式ガウス・ボネの定理を適用すると、X(N) の種数を計算することができる。素数のレベル p ≥ 5 に対し、

-\pi\chi(X(p)) = |G|\cdot D

である。ここに χ = 2 − 2g はオイラー標数、|G| = (p + 1)p(p − 1)/2 は群 PSL(2, p) の位数、D = π − π/2 − π/3 − π/p は球状の (2,3,p) の三角形の角度欠陥英語版(angular defect)である。このことから、公式

g = \tfrac{1}{24}(p+2)(p-3)(p-5)

が導かれる。

このようにして、X(5) は種数 0 であり、X(7) は種数 3 であり、X(11) は種数26 である。p = 2 あるいは 3 に対しは分岐を考えに入れる、つまり、PSL(2, Z) には位数 p の元が存在し、PSL(2, 2) は 3 というよりもむしろ位数 6 であることを考慮する必要がある。N を因子として含むレベル N のモジュラー曲線の種数についてのより複雑な公式がある。

種数 0[編集]

一般に、モジュラー函数体(modular function field)とは、モジュラ曲線、ときには、既約多様体英語版(irreducible variety)となるべきある他のモジュライ空間函数体である。種数が 0 であることは、そのような函数体が唯一の超越函数を生成子として持っていることを意味し、たとえば、j-函数X(1) = PSL(2, \mathbb{Z})\backslash\mathbb{H} の函数体を生成する。生成子の函数名は、メビウス変換で移りあう函数を同一視すると一意となり、適切に正規化することができ、そのような函数を Hauptmodul (あるいは主モジュラー函数(principal modular function)と呼ぶ。

空間 X1(n) は n = 1, ..., 10 と n = 12 に対して、種数 0 である。これらの曲線は、Q 上で定義されているので、そのような曲線上には無限に多くの有理点が存在し、よって、これらの n の値に対し n-捩れを持つ無限個の楕円曲線が存在する。n がこれらの値のときのみ、逆のステートメントが成り立ち、これがメイザーの捩れ定理である。

モンスター群との関係[編集]

種数 0 のモジュラー曲線は、まったくまれにしか存在しないが、モンストラス・ムーンシャイン予想との関係で非常に重要であることが判明した。モジュラー曲線の Hauptmoduln を q-展開した係数の最初のいくつかが、19世紀に既に計算されていたが、最も大きな単純散在モンスター群の表現空間の次元と同じになっていることが、非常に衝撃的である。

もうひとつの関係は、SL(2, R) の Γ0(p) の正規化因子英語版(normalizer) Γ0(p)+ と対応するモジュラー曲線が種数 0 であることと、p が 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 あるいは、71 であることと同値である。これらが正確にモンスター群の位数の素因子となっている。この Γ0(p)+ についての結果は、ジャン=ピエール・セール(Jean-Pierre Serre), アンドレ・オッグ英語版(Andrew Ogg)とジョン・トンプソン英語版(John G. Thompson)が1970年代に発見し、モジュラー群とモンスター群の関係を発見したオッグは、この事実を説明したものには、ジャックダニエルのウイスキーのボトルを進呈すると論文に記載した。

この関係は非常に深く、リチャード・ボーチャーズ(Richard Borcherds)により示されたように、一般カッツ・ムーディリー代数とも深く関係する。この分野の仕事は、至るところで正則でカスプを持つモジュラー形式に対し、有理型でありカスプで極を持つことのできるモジュラー函数の重要性を示している。これらの仕事は、20世紀の重要な研究の対象となった。

脚注[編集]

  1. ^ Serre, Jean-Pierre (1977), Cours d'arithmétique, Le Mathématicien, 2 (2nd ed.), Presses Universitaires de France 
  2. ^ dessins d'enfantsはフランス語で「子供のお絵かき」というような意味であろうが、現在は数学に固有な万国共通の単語といってもよいかも知れない。グラフの描き方のトポロジカルなパターンを意味し、リーマン面の研究や、絶対ガロア群の作用の組み合わせ的研究に使われる。

参照項目[編集]

参考文献[編集]