零点

零点（れいてん、ぜろてん、zero）とは、ある関数$f$によって、$0$に移される点、すなわち$f(z) = 0$を満たす$z$のこと。複素解析や代数幾何学などにおいて、方程式の解や根と呼ばれるものを幾何学的に取り扱う際に、しばしばこの表現が用いられる。

ゼータ関数の零点の分布は数論的にも重要な意味を持つ。

関数$f(z)$の零点全体のなす集合$\{z|f(z) = 0 \}$のことを零点集合と呼ぶことがある。2つ以上の関数が零点を共有するとき、その零点を共通零点とよぶ。多変数多項式系の共通零点集合はザリスキー位相などの位相構造を入れて代数多様体となる。

解析関数$f(z)$が

$f(z) = (z-a)^k g(z)$

（ただし、$k$は正の整数で、$g(z)$は$z = a$において正則）と表せるとき、$z = a$は関数$f$の$k$位の零点であるといい、$k$を零点$z = a$における重複度 (multiplicity) または位数 (order) と呼ぶ。

$g(z)$をテーラー展開してやることにより、解析関数の零点は孤立点となることがわかる。また、このとき$f(z)$と$g(z)$は点$z = a$において$k$位の接触を持つという。

関連項目

• 多項式
• 重根
• 求根アルゴリズム (計算機プログラムにより近似的に零点を求める手法)