リーマンの写像定理

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複素解析では、リーマンの写像定理(Riemann mapping theorem)は、U が複素平面 C の空でない単連結開部分集合のときには(ただし、C の全体ではないとき)、U から開単位円板英語版

D = \{z\in \mathbf{C} : |z| < 1\}

への双正則全単射正則写像)な写像 f が存在することを言っている定理である。[1]

この写像はリーマンの写像(Riemann mapping)として知られている。

直感的には、U が単連結であることは U には「穴」があいていないことを意味する。f が双正則であることは、それが共形写像であることを意味し、従って、角度を保つ。直感的には、そのような写像は、回転させたりスケールを変換する(ただし折り返してはいけない)ときに、十分に小さな形を保存する。

アンリ・ポアンカレ(Henri Poincaré)は、写像 f が本質的一意的であることを証明した。z0 を U の元とし、φ を任意の角度とすると、正確に一つだけ上記のような f が存在して、f(z0) = 0 であり、点 z0 での f の微分の偏角が φ に等しくなる。これはシュワルツの補題(Schwarz lemma)より容易に導ける。

この定理の系として、球面のすくなくとも 2つの点を取り除いたリーマン球面の任意の 2つの単連結な開部分集合は、互いに共形的に写像することができる(理由は共形同値は同値関係だからである)。

歴史[編集]

定理は、1851年のベルンハルト・リーマン(Bernhard Riemann)のPhD論文により、(U の境界が区分的に滑らかな場合を前提として)述べられている。ラース・アールフォルス(Lars Ahlfors)は以前に、定理のもともとの定式化に関して、「現代の方法をもってしても、証明しようとする試みを拒否するような言葉でほとんど定式化した」と言っている。リーマンのディリクレの原理(リーマン自信が命名している)に依存している。このことは当時はそのように考えられていた。しかし、カール・ワイエルシュトラス(Karl Weierstrass)がこの原理が一般的には成り立たないことを発見した。後日、だビッド・ヒルベルトが、大きく拡張し、ディリクレの原理がリーマンの行った仮説のしたでも有効であることを証明した。しかし、これを有効とするためには、ディリクレの原理は一般的な単連結な領域では有効ではない U の境界についてのある前提条件を必要とする。境界が任意である単連結な領域 William Fogg Osgood (1900) により最初に扱われた。

定理の第一の証明は、コンスタンティン・カラテオドリ(Constantin Carathéodory)により、1912年に出版された。彼の証明はリーマン面を使っていて、2年後にポール・ケーべ英語版によりこれを使わない方法で簡素化された。

もう一つの証明は、レオポルド・フェジェ英語版(Leopold Fejér)とリース(Frigyes Riesz)により、1922年に出版され、上記の証明よりもむしろ短い。この証明は、リーマン自身の証明に似ていて、求める写像は極値問題の解として得られる。フェジェとリースの両名はアレクサンダー・オストロフスキー(Alexander Ostrowski)とカラテオドリーにより、さらに大幅に簡素化された。

重要性[編集]

リーマンの写像定理の一意性と影響力の詳細を以下に列挙する。

  • たとえ相対的に単純なリーマンの写像でも(例えば、円の内部から正方形の内部への写像)初等関数(elementary function)のみを使い明確な公式として表すことはできない。
  • 平面上の単連結な開集合は非常に難しい。例えば、集合それ自身は有界であったとしても、境界は無限の長さをもついたるところで微分可能でなくフラクタルな曲線が存在する。そのような集合が角度を保持するような方法でうまく正規な円板に写像することができるという事実は、直感に反するように見える。
  • さらに複雑な領域のリーマンの写像定理の類似は正しくない。次に単純である場合は、二重連結な領域(doubly connected domain)(一つだけ穴を持った領域)である。穴のあいた円板や任意のや穴のあいた平面を除く任意の二重連結領域は、アニュラス 、つまり、0 < r < 1に対し {z : r < |z| < 1} に共形同値であるが、反転(inversion)や定数倍を除いて、アニュラス英語版の間には共形写像は存在せず、従ってアニュラス {z : 1 < |z| < 2} はアニュラス {z : 1 < |z| < 4} は共形同値ではない(極限での長さ英語版(extremal length)を応用して証明することができる)。
  • リーマンの写像定理の 3次元やそれ以上の実次元の類似は正しくない。3次元の共形写像の族は非常に貧弱で、本質的にはメビウス変換(Möbius transformation)しか持っていない。
  • たとえ高次元で任意の同相写像がありえたとしも、可縮英語版多様体は球体(ball)と同相(例えば、ホワイトヘッド連続英語版(Whitehead continuum))ではありえないことが分かる。
  • リーマンの写像定理は、2つの単連結な領域が平面内で同相であることを証明する最も簡単な方法である。たとえ連続写像のクラスが共形写像のクラスよりも非常に大きいとしても、領域が単連結であることのみが分かっている円板の上の 1 対 1 の函数を構成することは容易ではない。

証明のスケッチ[編集]

U と z0 が与えられたとすると、U を 単位円板へ z0 を 0 へ移すような函数 f を構成したい。これをスケッチするために、リーマンが行ったように、U は有界で境界が滑らかと仮定しよう。また、

f(z) = (z - z_0)e^{g(z)}

と書くこととする。ここに g = u + iv は、実部が u で虚部が v であるような正則函数(を定義するために)とおく。すると、明らかに、z0 は f の唯一のゼロ点である。全ての z ∈ ∂U に対して、|f(z)| = 1 を要求すると、境界上では

u(z) = -\log|z - z_0|

が必要となる。u は正則函数の実部であるので、u が必然的に調和函数となり、すなわち、ラプラス方程式を満たす。

従って、問題は次のようになる。全ての U の上で定義され、与えられた境界をもつ実数に値をもつ調和函数 u は存在するであろうか?これへの肯定的な回答はディリクレの原理で与えられる。一度 u の存在が確立すると、正則函数 g のコーシー・リーマンの関係式より、v を見つけることができる(この議論は U が単連結であるという前提に依存する)。一度、u と v が構成されると、結果として現れる函数 f が実際に全て要求された性質を満たすことをチェックする必要がある。

規格化定理[編集]

リーマンの写像定理は、リーマン面の脈絡で一般化することが可能である。U をリーマン面の単連結な開部分集合とすると、U はリーマン球面複素平面 C開円板英語版 D のうちの一つとなる。この定理は、規格化定理英語版(uniformization theorem)として知られている。

滑らかなリーマンの写像定理[編集]

滑らかな境界をもった単連結な有界領域の場合は、リーマンの写像函数とその全ての微分は、連続性により領域の閉包へと拡張される。これは、平面的領域のソボレフ空間の定理、あるいは、古典的ポテンシャル論に従うディリクレの境界値問題の正規な性質を使い証明することができる。リーマン写像定理を証明するもう一つの方法は、核函数(kernel function)を使う方法[2] や、ベルトラミ方程式(Beltrami equation)を使う方法である。

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ この定理、すなわち f の存在は、グリーン函数の存在と同値である。
  2. ^ Bell 1992

参考文献[編集]

外部リンク[編集]