分岐点 (数学)

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数学の一分野、複素解析学において、多価関数分岐点(ぶんきてん、: branch point)とは、その点を中心とする任意の閉曲線に沿って一周するときその函数(の、もとの点における値が周回前と周回後で一致しないという意味で)不連続となるような点をいう[1]。多価函数をきちんと扱うにはリーマン面の概念が必要であり、従って分岐点の厳密な定義も同概念が用いられる。

分岐点は、代数分岐点、超越分岐点、対数分岐点の三種類に大別することができる。代数分岐点は、例えば z の函数としての w に関する方程式 z = w2 を解くといった場合のように、根の選び方に任意性があるような函数から最もよく現れる分岐点である。ここでは原点が分岐点となっており、実際任意の解に対して、それを原点周りの閉曲線に沿って解析接続することで異なる函数が得られる(すなわち、ここに非自明なモノドロミーがある)。ただ、この函数 w は原点が代数分岐点であるとはいえ、多価函数として矛盾無く定義可能であり、かつ(適当な意味で)原点において連続である。この点は超越分岐点や対数分岐点(つまり多価函数が非自明なモノドロミーだけでなく真性特異性をも持つ場合)とは対照的である。

ただし、幾何学的函数論 (geometric function theory) などでは(限定のための修飾辞を付けずに)単に「分岐点」と言えば(先述した意味での分岐点よりも限定して)代数分岐点の意味になるのが普通であるし[2]、複素解析学の別の分科では もっと一般の超越型の分岐点をさしている場合もある。

代数分岐点[編集]

\Omegaガウス平面Cの連結開集合とし、ƒ:Ω → C正則関数とする。 ƒ が定数でなければ、ƒ臨界点 (導関数 ƒ'(z) の零点)の集合は \Omega 内に集積点を持たない。つまり ƒ の各臨界点 z0 は、その閉包内に ƒ の他の臨界点を含まないある円板 (disc, en) B(z0,r) の中心にあることになる。

B(z0,r) の境界を \gamma とし、その向きを正に取る。点 ƒ(z0) におけるƒ(γ) の巻き数 (winding number, en) は正の整数になる。これを z0分岐指数 (ramification index) と呼ぶ。分岐指数が 1 よりも大きい場合、z0ƒramification point と呼ばれ、その点の臨界値 (critical value, en) ƒ(z0) を (代数的) 分岐点 (branch point) と呼ぶ。言い換えると、1 より大きな正の整数 k が存在して、z0 の適当な近傍で、 ƒ(z) = φ(z)(z − z0)k となるような正則関数 φ が 定義されるとき、z0 を ramification point と呼ぶ、と言うことである。

主に ƒ そのものでなく、その逆関数に着目する。ramification point の近傍では逆関数が一般には存在せず、したがって逆関数は大域解析関数 (en)の意味で、多価関数としてしか定義できない。用語の濫用ではあるが、解析関数 ƒ−1 の分岐点 w0 = ƒ(z0) を大域解析関数f−1の分岐点と呼ぶ。陰関数として定義されるような多価の大域解析関数などに対する、より一般的な分岐点の定義も可能である。そういったいくつもの例を統合して扱う枠組みとして、リーマン面について後述する。 とくに、この枠組みを使うと、位数が 1 よりも大きなもramification pointと考えることができる。

大域解析関数 ƒ−1 に関しては、分岐点とはは非自明なモノドロミーを持つような点のことである。たとえば関数 ƒ(z) = z2z0 = 0 に ramification point を持ち、その逆関数である平方根関数 ƒ−1(w) = w1/2 の分岐点は w0=0 である。閉曲線 w = e に沿って進むとき、θ = 0 から始めると ei0/2 = 1 が出発点になるが、一周して θ = 2π まで来ると e2πi/2 = −1 に来ることになる。したがってこの閉曲線については、原点の周りを回るモノドロミーが存在する。

超越および対数分岐点[編集]

g を点 z0 に関する、その点だけを除いた穴あき円板 (punctured disc) 上の大域解析関数であるとすると、z0g の真性特異点 であり、z0 を囲む単純な閉曲線となる関数の解析接続が相異なる関数となるとき、g には超越的分岐点がある、という[3][4]。 多価関数

g(z) = \exp \left( z^{-1/k}\right)\,

では、整数 kk > 1 のときに原点が超越的分岐点となる。原点での一価性は有限である。

一方で、点 z0 における巻き数が 0 でないような曲線の解析接続によっては元の関数の関数要素が得られないような場合、z0対数的分岐点と呼ぶ。これは、この種の分岐点が複素対数関数の分岐点として原点に現れることから、対数的と呼ばれている。原点の周りの単純閉曲線を反時計方向に一周すると、複素対数関数の値は 2πi だけ増える。巻き数が w の閉曲線であれば 2πi w だけ増える。

超越的分岐点には、分岐 (ramification) に対応するものはない。それはそれに対応するリーマン面が、分岐点自身を含む包 (ccover) に解析接続できないからである。このような包はしたがって、常に分岐 (ramification) しない。

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  • 0 は平方根関数の分岐点である。w = z1/2z がガウス平面上の点 4(=4+0i) から原点を中心とする半径 4 の円周上を動いていくとすると、従属変数 w の値は z の値の変化にしたがって連続的に変化していく。z が円を一周して出発点 4 に戻ってくると、w はそれまでに、4 の正の平方根 2 から、4 の負の平方根 −2 までの半円を描いている。
  • 0 は自然対数の分岐点でもある。e0ei と同じ値なので、 Log(1) は 0 と 2πi の両方の値を取り、多価となる。z が原点を中心とする半径 1 の円上を動くとき、w = Log(z) は 0 から 2πi まで変化する。
  • 三角法 では tan(π/4) と (5π/4) の値はどちらも 1 であり、したがって arctan(1) の値は二つの値 π/4 と 5π/4 を取り、多価である。虚数単位 i と −i の表す点が逆正接関数 (arctan(z) = (1/2i)log(i − z)/(i + z)) の分岐点である。これは、逆正接関数の導関数 (d/dz) arctan(z) = 1/(1 + z2) の分母がその点で 0 になり、そこが導関数の極 (複素解析)であることからもわかる。
  • a が関数 ƒ の導関数 ƒ ' のであるとき、aƒ の対数的特異点である。しかし逆は成立しない。α が無理数のとき関数 ƒ(z) = zα には対数的分岐点があって、その導関数が正則でなくても、極とはならないためである。

分岐截断[編集]

厳密な言い方ではないが、分岐点とは多価関数の複数の「截れ端」が重なり合う点であり、函数の枝 (branch) はいくつか截れ端を集めたものである。たとえば関数 w = z1/2 には二つの枝がある。一つは符号が正の平方根、もう一つは負である。ガウス平面上の曲線が、多価函数の分岐截線 (branch cut) であるとは、それによって多価函数の一つの枝を截り出す事ができる場合に言う。截線は二つの分岐点の間を結ぶように入れるのが普通だが、そうでない場合もある。

分岐截線を使えば、多価函数を一価函数の集まり(を截線のところで貼り合わせたもの)として扱うことができるようになる。たとえば

F(z) = \sqrt{z} \sqrt{1-z}

という関数を一価にするためには、この関数の二つの分岐点を結ぶ実軸上の区間 [0, 1] に沿って截ればよい。同じ考え方が √z にも適用できるが、この場合、分岐点 0 と結ぶべき適当な別の分岐点は無限遠点なので、たとえば実軸の負の領域すべてを分岐截線とする。

分岐線で截るという手段は(必然性のない)便宜上のものでしかないようにも思われるが、たとえば特殊函数論などでは非常に有用である。分岐による現象を真正面から説明するためにリーマン面の理論が発展し、またさらに一般に、代数関数微分方程式における ramification やモノドロミーの理論が形成された。

複素対数函数の分岐截断[編集]

複素自然対数函数の虚部を、枝の様子がわかるようにプロットしたもの。点 z が原点の周りを周回すれば、それに伴って z の対数の虚部は上下に枝をわたって移動していく。

分岐の最も分かり易い例は、複素数の対数関数である。複素数を極形式で z = reiθ と表すと、z の対数は

\log z = \ln r + i\theta

となるが、θ の取り方には無数のやり方がある。ある範囲の θ に 2π の整数倍を加えた別の範囲では、関数の振る舞いはすべて同じだからである。ガウス平面上の連結開集合内のすべての複素数 z に対して、その対数を与える連続関数 L(z) が、その対数関数の分枝である。特に、原点から無限遠に伸びる半直線の補空間にはどれにも、対数関数の分枝があり、これを分岐 (branch cut) と呼ぶこともある。ほとんどの場合、便宜上の理由から実数軸の負の側を分枝とする。

この分枝上では対数関数は定義されないため、これと交差するように点が異動するときには値が不連続に 2πi だけ変化する。シートと呼ばれる同じ形をした、分枝に沿ったガウス平面の関数をくっつけることにより、対数関数を連続関数にすることができる。各シートでの対数関数の値は主値 (principal value) に 2πi の整数倍を乗じた値になっている。各シートは分枝に沿って、対数関数が連続になるようにくっつけられる。変数が原点に近づくときは毎回、関数値は異なる枝に向かって動くことになる。

極の連続体としての截断[編集]

分岐截断が複素解析におけるよくある特徴を備えている理由の一つとして、それが複素平面上の曲線に沿って並べられた無限個の(そこでの留数が無限小であるような)極の和とみなせるということが挙げられる。たとえば関数

f_a(z) = {1\over z-a}

には z = a に一位の極を持つ。この極の位置を連続的に変化させて取った積分


u(z) = \int_{a=-1}^{a=1} f_a(z) \,da = \int_{a=-1}^{a=1} {1\over z-a} \,da = \log \left({z-1\over z+1}\right)

は −1 から 1 までの分岐截線を持つ関数 u(z) を定義する。この分岐線は少しくらい変更しても構わない(これは、積分路が点 z を通過しない限り積分の値を変えずに積分路をずらすことができるということによる)。

リーマン面[編集]

コンパクト連結リーマン面 X からコンパクトリーマン面 Y への正則函数 f: XY に対しても、分岐点の概念が定義される(Y として普通はリーマン球面をとる)。このような函数 f が定数でないならば、有限個の例外を除いて f はその像の上への被覆写像だが、このとき除外される X の点を ramification point といい、その像を branch point と呼ぶ。

任意の点 PX および Q = f(P) ∈ Y に対して、正則局所座標函数 z および w がそれぞれ P および Q の近傍に存在して、そこでは元の函数 f(z) が、適当な整数 k に対する

w = z^k

となっているようにできる。この整数 k を点 P における分岐指数という。通常は、分岐指数は 1 だが、分岐指数が 1 でないとき、定義により、P が ramification point で Q は branch point である。

Y がちょうどリーマン球面で、点 QY の有限部分にあるならば、特別な座標系を選ぶことは必要でなく、分岐指数をコーシーの積分公式から明示的に計算することができる。γ を P の周りをまわる X 内の閉曲線(多少変形してもよい)とすると、fP における分岐指数は積分

e_P = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f'(z)}{f(z)-f(P)}\,dz

で与えられる。この積分の値は点 Q の周りでの f(γ) の巻き数に等しい。すでに述べたように、eP > 1 のとき P は ramification point で Q は branch point である。

代数幾何学[編集]

代数幾何学においては、分岐の概念を任意の代数曲線 (algebraic curve, en) の間の写像に拡張することができる。ƒ:X → Y を二つの代数曲線間の準同型写像とすると、Y 上の有理関数から X 上の有理関数へ戻ることで、K(Y) の体を拡大した K(X) を考えることができる。ƒ の位数 (degree) はこの体の拡大 [K(X):K(Y)] の位数と等しいと定義され、位数が有限の時、ƒ は有限である、と言う。

ƒ が有限の時、点 P ∈ X の分岐指数 eP は以下のように定義される。Q = ƒ(P)、tP における局所一様化変数 (local uniformizing parameter, en) とすると、tQ の近傍でされる正則関数 (regular function) で、t(Q) = 0 であり、またその導関数は非零である。t から ƒ だけ戻ることにより、X 上の正則関数を考えることができる。そのとき、 vP をその正則関数の P における局所環に含まれる付値環とすると、

e_P = v_P(t\circ f)

となる。つまり eP は点 P において t\circ f が消える次数である。eP > 1 のとき ƒ は P で分岐する (ramify) と言う。そのとき、Q を分岐点 (branch point) と呼ぶ。

ピュイズー級数[編集]

ピュイズー級数 (Puiseux series, en)、負の数の指数や分数の指数を展開する級数) は、ローラン展開を拡張したもので、代数曲線 (algebraic curve, en) の分岐を定義できる。

脚注[編集]

  1. ^ Mark J. Ablowitz and Athanassios S. Fokas, "Complex Variables: Introduction and Applications", 2nd ed., Cambridge University Press, ISBN:978-0-521-53429-1, 2003.
  2. ^ Ahlfors 1979
  3. ^ E.D. Solomentsev, Branch point, In Michiel Hazewinkel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 (2001).
  4. ^ A. I. Markushevich , Theory of functions of a complex variable. Vol. I, Translated and edited by Richard A. Silverman, Englewood Cliffs, Prentice-Hall Inc., N.J., MathSciNet ID:0171899, 1965.

参考文献[編集]

関連項目[編集]