クロネッカーのデルタ

クロネッカーのデルタ（Kronecker delta）とは、集合 T（多くは自然数の部分集合）の元 i, j に対して

$\delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{matrix}}\right.$

という性質を持つ関数 δ_ij : T×T → {0, 1} のことをいう。つまり、T×T の対角成分の特性関数のことである。名称は、19世紀のドイツの数学者レオポルト・クロネッカーに因む。

アイバーソンの記法を用いると

$\delta _{ij}=[i=j]\,$

単純な記号だが、色々な場面で有用である。例えば、単位行列は (δ_ij) と書けたり、n 次元直交座標の基底ベクトルの内積は、(e_i, e_j) = δ_ij と書ける。

なお， $0^{0}=1$ であるので， $\delta _{ij}=0^{|i-j|}$ と書くこともできる．

演算規則

${\begin{aligned}\sum _{j}\delta _{ij}a_{j}&=a_{i}\\\sum _{i}a_{i}\delta _{ij}&=a_{j}\end{aligned}}$

これはベクトルに単位行列を作用させても不変であることを意味する。

$\sum _{k}\delta _{ik}\delta _{kj}=\delta _{ij}$

これは単位行列に単位行列を掛けたものは単位行列であることを意味する。

一般化されたクロネッカーのデルタ

この章では、添字は1からn の間の値をとるものとする。

2階(1,1)型テンソルとしてのクロネッカーのデルタは

$\delta _{\nu }^{\mu }={\begin{cases}1&\quad (\mu =\nu )\\0&\quad (\mu \neq \nu )\end{cases}}$

である。

これを高階に拡張したものとして、n次元、 2p階の一般化されたクロネッカーのデルタがある。これは(p,p) 型テンソルで、上下それぞれの添字に対して反対称である。

定義

一般化されたクロネッカーのデルタの定義は

$\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{cases}+1&\quad {\text{(even)}}\\-1&\quad {\text{(odd) }}\\\;\;0&\quad {\text{(otherwise)}}\end{cases}}$

である。 なお、 "even"はν₁ … ν_p が全て異なり、かつ、μ₁ … μ_p の偶置換の場合を指し、 "odd"はν₁ … ν_p が全て異なり、かつ、μ₁ … μ_p の奇置換の場合を指し、 "otherwise"は上記以外のすべての場合を指す。

${\mathfrak {S}}_{p}$ をp 次の対称群とすれば

$\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{\sigma (1)}}\cdots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{\sigma (p)}}=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{\sigma (1)}}^{\mu _{1}}\cdots \delta _{\nu _{\sigma (p)}}^{\mu _{p}}$

と表現でき、反対称化の記号を用いると:

$\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=p!\delta _{\nu _{1}}^{\lbrack \mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}\rbrack }=p!\delta _{\lbrack \nu _{1}}^{\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}\rbrack }^{\mu _{p}}$

となる。また、p × p 行列式で表現すると:

$\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{vmatrix}\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{1}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{p}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\end{vmatrix}}$

となる。

行列式の余因子展開を用いると再帰的な定義:

${\begin{aligned}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=\sum _{k=1}^{p}(-1)^{p+k}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots {\check {\nu }}_{k}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{k}\dots {\check {\mu }}_{p}}\end{aligned}}$

が得られる。ただし、チェックついた項は式から外されるとする。

n = p の場合、(高階に拡張された)エディントンのイプシロンを使えば:

$\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}=\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}$

となる。

逆にエディントンのイプシロンの定義と考えることもできる。

$\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}=\delta _{1\dots n}^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}$

$\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}=\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}^{1\dots n}$

演算規則

反対称化を一般化されたクロネッカーのデルタを使って定義すると

${\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\sum _{\nu _{1},\dots ,\nu _{p}=1}^{n}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=a^{\lbrack \mu _{1}\dots \mu _{p}\rbrack }\\{\frac {1}{p!}}\sum _{\mu _{1},\dots ,\mu _{p}=1}^{n}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=a_{\lbrack \nu _{1}\dots \nu _{p}\rbrack }\end{aligned}}$

となる。

これより、以下の演算規則が導かれる。

${\begin{aligned}\sum _{1\leq \nu _{1}<\dots <\nu _{p}\leq n}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{\lbrack \nu _{1}\dots \nu _{p}\rbrack }&=a^{\lbrack \mu _{1}\dots \mu _{p}\rbrack }\\\sum _{1\leq \mu _{1}<\dots <\mu _{p}\leq n}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{\lbrack \mu _{1}\dots \mu _{p}\rbrack }&=a_{\lbrack \nu _{1}\dots \nu _{p}\rbrack }\\\sum _{1\leq \nu _{1}<\dots <\nu _{p}\leq n}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}\delta _{\rho _{1}\dots \rho _{p}}^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=\delta _{\rho _{1}\dots \rho _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}\end{aligned}}$

これらは#演算規則の節の内容の一般化であり、３番めの式はコーシー・ビネの公式に対応する。

添字の縮約 (線型代数学)については $(0\leq m<k\leq n)$ として、

$\sum _{\rho _{m+1}=1}^{n}\dots \sum _{\rho _{k}=1}^{n}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{m}~\rho _{m+1}\dots \rho _{k}}^{\mu _{1}\dots \mu _{m}~\rho _{m+1}\dots \rho _{k}}\,={\frac {(n-m)!}{(n-k)!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{m}}^{\mu _{1}\dots \mu _{m}}$

あるいは

$\sum _{1\leq \rho _{m+1}<\dots <\rho _{k}\leq n}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{m}~\rho _{m+1}\dots \rho _{k}}^{\mu _{1}\dots \mu _{m}~\rho _{m+1}\dots \rho _{k}}\,={\begin{pmatrix}n-m\\k-m\end{pmatrix}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{m}}^{\mu _{1}\dots \mu _{m}}$

が成立する。

特に k = n のとき、

$\sum _{1\leq \rho _{m+1}<\dots <\rho _{n}\leq n}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{m}~\rho _{m+1}\dots \rho _{n}}^{\mu _{1}\dots \mu _{m}~\rho _{m+1}\dots \rho _{n}}\,=\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{m}}^{\mu _{1}\dots \mu _{m}}$

あるいは

$\sum _{1\leq \rho _{m+1}<\dots <\rho _{n}\leq n}\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{m}~\rho _{m+1}\dots \rho _{n}}~\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{m}~\rho _{m+1}\dots \rho _{n}}\,=\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{m}}^{\mu _{1}\dots \mu _{m}}$

$\left(\sum _{\rho _{m+1},\dots ,\rho _{n}=1}^{n}\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{m}~\rho _{m+1}\dots \rho _{n}}~\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{m}~\rho _{m+1}\dots \rho _{n}}\,=(n-m)!~\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{m}}^{\mu _{1}\dots \mu _{m}}\right)$

が成立する。

関連項目

• ディラックのデルタ関数
• 対角線論法