有限単純群の分類

有限単純群の分類 (classification of the finite simple groups) とは、数学において全ての有限単純群を4つの大まかなクラスへと分類する定理である。 これらの群は、全ての有限群を構成する基本的な要素として見ることが出来る。

この分類定理の証明は、主に1955年から2004年に渡り出版された、100以上の著者により数百の学術誌において書かれた、計1万5000ページ以上もの成果の集大成である。ゴーレンシュタイン (d.1992) とライアン、ソロモンらは、この証明を整理し見通しよく改訂した「第2世代の証明」の出版を開始している。

分類定理の主張

詳細は「en:List of finite simple groups」を参照

分類定理 ― 全ての有限単純群は以下の群のいずれかと同型である:

• 以下3つの無限個クラスの群:
  • 素数位数の巡回群 C_p
  • 次数5以上の交代群 A_n
  • リー型の単純群
• 26の散在型単純群
• ティッツ群 ²F₄(2)′ - リー型の群や27番目の散在型単純群に分けられることもある

分類定理は数学の多くの分野において応用がある。 有限群（また他の数学的対象に対するそれらの作用）の構造についての疑問は、有限単純群のそれへと簡約することが出来る。 分類定理のお陰で、そのような疑問は単純群や散在群の族をチェックすることで答えることが出来る。

1983年にダニエル・ゴーレンシュタインは有限単純群が完全な分類が成されたと発表した。 しかしこれは準薄群の分類の証明についての錯誤があったため尚早であった。 欠けていた準薄のケースについての1221ページにも及ぶ証明がアシュバッハーとスミスにより出版された後に、 分類定理の証明の完成が Aschbacher (2004) によりアナウンスされた。

分類定理の概観

Gorenstein (1982, 1983) は2巻からなる証明の低階数および奇数標数パートの要点を著し、 Michael Aschbacher, Richard Lyons, and Stephen D. Smith et al. (2011) は残る標数2のケースを補う第3巻を著した。 この証明は以下の幾つかの主要な部分へと分けることが出来る:

証明の歴史

証明のタイムライン

以下のリストは多くが Solomon (2001) より取られている。 年は一般に結果の完全な証明が成された出版日とする。

出版年
1832	ガロアが正規部分群を導入し、An (n ≥ 5) と PSL2 (Fp) (p ≥ 5) が単純群であることを発見する。
1854	ケイリーが抽象群を定義する。
1861	マシューが最初の2つのマシュー群 M11 と M12 を発見し、また M24 の存在も報告している。
1870	ジョルダンが幾つかの単純群を列挙した: 交代・射影特殊線型群。そして単純群の重要さを強調した。
1872	シローがシローの定理を証明した。
1873	マシューが更に3つのマシュー群 M22, M23, M24 を導入した。
1892	オットー・ヘルダーが、任意の非可換有限単純群の位数が少なくとも4つの（互いに異なるとは限らない）素数の積となることを証明した。また有限単純群の分類について問うた。
1893	コールが位数660までの単純群を分類する。
1896	フロベニウスとバーンサイドが有限群の標数理論の研究を開始した。
1899	バーンサイドが、全ての対合の中心化群が非自明な基本アーベル2-群であるような単純群の分類を行った。
1901	フロベニウスが、フロベニウス群がフロベニウス核を持ち、それ故に単純群でないことを証明した。
1901	ディクソンが、任意の有限体上の古典群および、標数が奇数の体上のG2型の例外群を定義した。
1901	ディクソンが E6 型の例外有限単純群を導入した。
1904	バーンサイドが指標理論を用いて、非可換な有限単純群の位数は少なくとも3つの異なる素数によって割り切れるというバーンサイドの定理を証明した。
1905	ディクソンが偶数標数の体上のG2型の単純群を導入した。
1911	バーンサイドが全ての非可換有限単純群は偶数の位数を持つのではないかと推測した。
1928	ホールが、可解群のホール部分群の存在を証明した。
1933	ホールがp-群の研究を開始した。
1935	ブラウアーがモジュラー指標の研究を開始した。
1936	ザッセンハウスが有限強3重可移置換群を分類した。
1938	フィッティングがフィッティング部分群を導入し、可解群において、フィッティング部分群がその中心化群を含んでいるというフィッティングの定理の証明を行った。
1942	ブラウアーがある素数の1乗でちょうど割り切れる群のモジュラー指標を記述した。
1954	ブラウアーが GL2 (Fq) を対合の中心化群としてもつ単純群を分類した。
1955	ブラウアー・ファウラーの定理が与えられた対合の中心化群を持つ有限単純群は有限個であることを示し、このことから対合の中心化群を用いて群の分類を進められることが提案される。
1955	シュヴァレーがシュヴァレー群を導入し、F4, E7, E8 型の例外単純群を与えた。
1956	ホール・ヒグマンの定理
1957	鈴木通夫が、奇数位数の全ての有限単純CA群は巡回的であることを示した。
1958	ブラウアー・鈴木・ウォールの定理がランク1の射影特殊線型群を特徴付け、単純CA群の分類を行う。
1959	スタインバーグがスタインバーグ群を導入し、3D4, 2E6 型の新しい有限単純群を与えた（後者はジャック・ティッツによっても独立に発見されている）。
1959	一般四元数群をシロー2部分群にもつ群についてのブラウアー・鈴木の定理が、これらの群のいずれも単純ではないことを示した。
1960	トンプソンが、素数位数の固定点のない自己同型をもつ群が巾零であることを証明した。
1960	ファイトとホールとトンプソンが、全ての奇数位数の有限単純CN群が巡回的であることを示した。
1960	鈴木が鈴木群を導入した、これは B2 型を持つ。
1961	李林學が李群を導入した、これは 2F4, 2G2 型を持つ。
1963	ファイトとトンプソンがファイト・トンプソンの定理（奇数位数定理）を証明した。
1964	ティッツがリー型の群についてBN対を導入し、ティッツ群を発見した。
1965	ゴーレンシュタイン・ウォルターの定理により2面体シロー2部分群をもつ群が分類される。
1966	グラウバーマンがZ*定理を証明する。
1966	ヤンコがヤンコ群 J1を導入する。これは20世紀になって初めての新しい散在型単純群の発見であった。
1968	グラウバーマンがZJ定理を証明する。
1968	ヒグマンとシムスがヒグマン・シムス群を導入する。
1968	コンウェイがコンウェイ群を導入する。
1969	ウォルターの定理により、可換シロー2部分群をもつ群が分類される。
1969	散在型鈴木群・ヤンコ群 J2・同J3・マクラハン群・ヘルド群が導入された。
1969	ゴーレンシュタインがトンプソンのアイディアに基づき、信号関手を導入する。
1970	MacWilliams が、ランク3の正規可換部分群をもつ2群は多くとも4つの sectional 2ランクを持つことを示した。（後者の条件を満たすシロー部分群をもつ単純群は、後にゴーレンシュタインと原田耕一郎により分類される）
1970	ヘルムート・ベンダーが一般化フィッティング部分群を導入する。
1970	アルペリン・ブラウアー・ゴーレンシュタインの定理により、準2面体や wreathed なシロー2部分群をもつ群が分類される。これにより、最大でもランク2の単純群の分類が完成する。
1971	フィッシャーがフィッシャー群を導入する。
1971	トンプソンが2次対 ?を導入する。
1971	ベンダーが強く埋め込まれた部分群をもつ群を分類する。
1972	ゴーレンシュタインが有限単純群を分類するための16ステップのプログラムを提案する。最終的に得られた分類も、このアウトラインにとてもよく沿っている。
1972	ライアンがライアン群を導入する。
1973	ラドヴァリスがラドヴァリス群を導入する。
1973	フィッシャーがベビーモンスター群を発見する（未出版）。これはフィッシャーとグライスがモンスター群を発見するために用いたものである。またモンスター群は、トンプソンをトンプソン散在群へと、そしてノートンを原田・ノートン群へと（ただしこれは原田により異なる手法で既に発見されていた）導いた。
1974	トンプソンがN群（可解な局所部分群をもつ群）を分類する。
1974	ゴーレンシュタイン・原田の定理により、sectional 2-rank at most 4 の単純群が分類された。その結果、残る有限単純群は成分型か指標2型の群へと分類される。
1974	ティッツが、最低でもランク3のBN対をもつ群がリー型の群であることを示す。
1974	アシュバッハーが proper 2-generated core をもつ群を分類した。
1975	ゴーレンシュタインとウォルターが L-balance theorem を証明する。
1976	グラウバーマンが可解な信号関手定理を証明する。
1976	アシュバッハーが component theorem を証明する。これは大ざっぱに言うと、幾つかの条件を満たす奇数型の群が標準形において成分を持つと言うことを示している。標準形の成分をもつ群は、多くの著者による論文の巨大なコレクションにおいて分類が成されている。
1976	オナンがオナン群を導入する。
1976	ヤンコがヤンコ群 J4を導入する。これが最後に発見された散在型単純群である。
1977	アシュバッハーが奇数標数をもつリー型の群を、彼の古典対合定理を基に特徴付ける。単純群の「ほとんど」を扱うこの定理により、分類の終わりが間近に迫ってきたと広く感じられるようになった。
1978	Timmesfeldが O2 extra-special 定理を証明した。このことで、GF(2) 型の群の分類が、幾つかの小さな問題へと分割された。
1978	アシュバッハーが薄い群、すなわち偶数標数の体上のリー型のランク1の群を分類した。
1981	ボンビエリが消去定理を用いて李群の特徴付けにおけるトンプソンの仕事を完成させた。これは分類における最も困難なステップの一つであった。
1982	Patrick P. McBride がすべての有限群について信号関手定理を証明した。
1982	グライスが手作業によりモンスター群を構成した。
1983	ギルマン・グライスの定理により、標数2型かつ標準成分をもつ少なくともランク4の群が、3分法定理の3つのケースのどれか一つに分類される。
1983	アシュバッハーが uniqueness case の仮説を満足する有限群が存在しないことを証明した。uniqueness case とは、標数2型の群についての3分法定理が与える3つのケースの内の1つである、
1983	ゴーレンシュタインとライアンが、標数2型かつ少なくともランク4の群について3分法定理を証明する。一方アシュバッハーはランク3の群について証明した。 このことでこれらの群は、3つの小ケースに分割された：すなわち、uniqueness case・GF(2) 型の群・標準成分をもつ群である。
1983	ゴーレンシュタインが、分類の証明が完了したとアナウンスした。しかし準薄ケースの証明が不完全であったため、これは尚早であった。
1994	ゴーレンシュタイン、ライアン、ソロモンが、改訂された分類の出版を開始した。
2004	アシュバッハーとスミスが準薄群（すなわち偶数標数の体上の多くともランク2のリー型の群）について彼らの仕事を出版し、この時点で知られている分類の最後のギャップが埋められた。
2008	原田とソロモンがマシュー群 M22 をカバーする、標準成分をもつ群についての分類の小さなギャップを埋めた。これは M22 のシューア乗数についての計算において、誤って証明に欠落が生じていたためである。
2012	ジョルジュ・ゴンティエとその共同研究者達が、証明支援言語Coqを用いたファイト・トンプソンの定理の機械的チェックの成功をアナウンスした。

第2世代の分類

何故この証明はこんなにも長いのか？

ゴーレンシュタインは、なぜ分類の証明がコンパクトリー群の分類のように短くならないのかについて、幾つかの理由を議論している。

• 最も明らかな理由は、単純群の一覧が完全に複雑だからである：すなわち、26の散在型単純群についてのように、どんな証明にも多くの特別なケースを考慮に入れなくてはならない。そのため、ディンキン図形を用いたコンパクトリー群のパラメーター化に似た、有限単純群のスッキリとした規則的な説明を誰も発見できていない。
• アティヤなどは、この分類は、幾何学的対象上の群の作用を構築し、それらの幾何学的構造を分類することにより単純化されるだろうと提案している。この問題は、単純群と関連するような幾何学的構造を発見するための簡単な方法を、誰も与えられるようにはなっていないということである。BN対のような幾何学的構造を発見することによりこの分類は機能する。しかしそれが叶うのは、有限単純群の構造のとても長く困難な解析の果てになるだろう。
• 証明の簡略化ため、群の表現論をより一層利用しようという提案もある。しかし表現論は、群の部分群についてとてもタイトなコントロールを必要とすると言う問題がある。低い階数の群については、そのようなコントロールと表現論はとてもよく働く。しかし高い階数をもつ群については、表現論を用いて分類を単純化することには誰も成功しない。分類作業の初期においては、表現論を用いた努力も相当なされた。しかし高い階数においては、その試みは決して成功しなかった。

分類の結論

この説では、有限単純群の分類を用いて証明された結果を並べる。

• シュライエル予想
• 信号関手定理
• B予想
• 全ての群に関するシューア・ザッセンハウスの定理（これはファイト・トンプソンの定理のみを用いて）
• 1より多くの元をもつ有限集合上の可移置換群が、素数位数の固定点自由な元を持つこと。
• 2重可移置換群の分類
• 階数3置換群の分類
• シムス予想 (Sims conjecture)
• xⁿ=1 の解の個数におけるフロベニウス予想

参考文献

• Aschbacher, Michael (2004年). “The Status of the Classification of the Finite Simple Groups”. Notices of the American Mathematical Society 51 (7): pp. 736–740. http://www.ams.org/notices/200407/fea-aschbacher.pdf 
• Aschbacher, Michael; Lyons, Richard; Smith, Stephen D.; Solomon, Ronald (2011), The Classification of Finite Simple Groups: Groups of Characteristic 2 Type, Mathematical Surveys and Monographs, 172, ISBN 978-0-8218-5336-8, http://www.ams.org/bookstore?fn=20&ikey=SURV-172 
• Conway, John Horton; Curtis, Robert Turner; Norton, Simon Phillips; Parker, Richard A; Wilson, Robert Arnott (1985), Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups, Oxford University Press, ISBN 0-19-853199-0 
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• Mark Ronan, Symmetry and the Monster, ISBN 978-0-19-280723-6, Oxford University Press, 2006. (Concise introduction for lay reader)
  • マーク・ロナン 著、宮本 雅彦／宮本 恭子 訳『シンメトリーとモンスター: 数学の美を求めて』岩波書店、2008年（原著2006年）。ISBN 978-4000054591。 
• Marcus du Sautoy, Finding Moonshine, Fourth Estate, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 (another introduction for the lay reader)
• Ron Solomon (1995) "On Finite Simple Groups and their Classification," Notices of the American Mathematical Society. (Not too technical and good on history)
• Solomon, Ronald (2001), “A brief history of the classification of the finite simple groups”, American Mathematical Society. Bulletin. New Series 38 (3): 315–352, doi:10.1090/S0273-0979-01-00909-0, ISSN 0002-9904, MR1824893, http://www.ams.org/bull/2001-38-03/S0273-0979-01-00909-0/S0273-0979-01-00909-0.pdf  – article won Levi L. Conant prize for exposition
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• 原田 耕一郎『モンスター: 群のひろがり』岩波書店、1999年。ISBN 978-4000060554。 
• D. ゴーレンシュタイン 近藤 武訳 (1986年2月号), “有限単純群の分類定理”, サイエンス 16 (2): pp.98-111 
• S. オーンズ (2015年11月号), “巨大分類定理を継承　数学者たちの挑戦”, 日経サイエンス 45 (11): pp.88-96, http://www.nikkei-science.com/201511_088.html 
• Gorenstein, Daniel (1988), “The Classification of the Finite Simple Groups, A Personal Journey: The Early Years”, AMS History of Mathematics, Volume 1: A Century of Mathematics in America, Part I, AMS, ISBN 0-8218-0124-4, http://www.ams.org/samplings/math-history/hmath1-gorenstein33.pdf 

関連項目

• en:O'Nan–Scott theorem

外部リンク

• 五味健作「有限単純群の分類論の近況」『数学』第31巻、第3号、日本数学会、217–230頁、1979年。doi:10.11429/sugaku1947.31.217。https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/31/3/31_3_217/_pdf/-char/ja。 
• 鈴木通夫「有限単純群の分類」『数学』第34巻、第3号、日本数学会、193–210頁、1982年。doi:10.11429/sugaku1947.34.193。https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/34/3/34_3_193/_pdf/-char/ja。 
• 原田耕一郎「有限群論の成果と課題」『数学』第53巻、第1号、日本数学会、46–61頁、2001年。doi:10.11429/sugaku1947.53.46。https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/53/1/53_1_46/_pdf/-char/ja。 
• ATLAS of Finite Group Representations. - 多くの有限単純群について、群の表現などの情報を集めた、検索可能なデータベース
• Elwes, Richard, "An enormous theorem: the classification of finite simple groups," Plus Magazine, Issue 41, December 2006. For laypeople.
• Madore, David (2003) Orders of nonabelian simple groups. - 位数 10¹⁰ までの全ての非可換単純群のリストを含む。
• http://mathoverflow.net/questions/180355/in-what-sense-is-the-classification-of-all-finite-groups-impossible