モンスター群

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群論
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群論

群論において、モンスター群英語: Monster Group)M あるいは (フィシャーグライス モンスター、あるいは、フレンドリージャイアントとも言う)、26個の散在型単純群のうち、位数が最大のものをいう。 その位数は

246 · 320 · 59 · 76 · 112 · 133 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71
= 808017424794512875886459904961710757005754368000000000
8 · 1053

有限単純群は、完全に分類された(有限単純群の分類英語版(Classification of finite simple groups)を参照)有限単純群のリスト英語版(list of finite simple groups)の 18 個の可算な無限の族と、26 個のそのような系統的なパターンに従わない散在単純群英語版(sporadic groups)から成り立っている。モンスター群は最も大きな散在単純群であり、他の散在単純群のうち 6 個を部分群や商として含んでいる。ロバート・グライス英語版(Robert Griess)は、これらの 6 個の例外群(pariahs)と呼び、それら以外を「ハッピーファミリー」(happy family)と呼んだ。

存在と一意性[編集]

モンスターは、ベルンド・フィシャー英語版(Bernd Fischer)による未発表論文と1973年頃の Robert Griess (1976) により、対合中心化英語版(Centralizer)としてフィシャーのベビーモンスター群英語版(baby monster group)の二重被覆英語版(double covering)を持つ単純群として予想された。数か月のうちに、M の指数(order)は、グライスによりトンプソンの指数公式英語版(Thompson order formula)を使い発見され、フィシャー、コンウェイ(Conway)、ノートン(Norton)とトンプソンは、商として他の群を発見した。他の群の中にはそれまで知られている多くの散在型単純群の多くと 2 つの新しい群、トンプソン群英語版(Thompson group)と原田・ノートン群英語版(Harada–Norton group)が含まれている。Griess (1982) では、M がグライス代数英語版(Griess algebra)の自己同型群英語版(automorphism group)、196884-次元の非結合代数として構成された。John Conway (1985) さらに Jacques Tits (1984, 1985) では、この構成が単純化された。

グライスの構成は、モンスターが存在することを示している。 Thompson (1979) は、この一意性が(有限単純群の分類からくるある条件をみたす単純群として)196883-次元の忠実表現英語版(faithful representation)の存在からくるはずであることを示した。そのような表現の存在証明は、 Norton (1985) でアナウンスされたが、詳細を出版しようとはしなかった。Griess, Meierfrankenfeld & Segev (1989) は最初にモンスターの一意性の証明を完全なものとした(さらに、彼らはモンスターとして対合と同じ中心化を持つ群がモンスター群と同型であることを示した)。

表現[編集]

忠実な複素表現の最小次数は 196883 であり、M の指数の最も大きな 3 つの素因子の積である。194-行 194-列あるモンスターの指標テーブル英語版(character table)は、1979年にフィシャーとドナルド・リビングストーンによりミカエル・ソーン(Michael Thorne)によって書かれた計算機プログラムを使い計算された。任意の体の最も小さな線型表現は、最小の複素表現の次元よりも 1 だけ小さい次元であり、2 つの要素を持ち、次元は 196882 である。

モンスターの最も小さな忠実な置換表現は、 24 · 37 · 53 · 74 · 11 · 132 · 29 · 41 · 59 · 71 (about 1020) 個の点の上にある。

モンスターは、有理数上のガロア群として実現することができ(Thompson 1984, p. 443)、フルヴィッツ群英語版として実現することができる(Wilson 2004)。

モンスターは単純群の中では通常とは異なり、元の表現を簡単に得る方法が知られていない。このことは、「小さな」表現が存在しないといったサイズの問題のせいというだけではない。例えば、単純群 A100 と SL20(2) は非常に大きいが、「小さな」置換、または、線型表現を持っていて、計算することが容易である。交代群は群のサイズを比較することができる置換表現を持っていて、リー型の有限単純群はみな群のサイズを比較することができる「小さな」置換表現をもっている。モンスターを除く全ての散在群も、計算機で計算し易いような充分に小さな線型表現をもっている(モンスターに続いて計算することが困難な場合はベビーモンスターで、4370次元の表現を持っている)。

計算機による構成[編集]

ロバート・アーノット・ウィルソン英語版(Robert A. Wilson)は(計算機の助けにより)要素が位数2の有限体に属する 2つの 196882 × 196882 の行列を具体的に見出した。この 2つの行列がモンスターをいっしょになって生成する。これは標数が 0 の 196883-次元の表現よりも1次元低い。計算をこれらの行列により実施することもできるが、時間とデータ蓄積場所の有効利用の観点からは、あまりに高価である。ウィルソンは協力者とともに、より速くモンスターの計算を実行する方法を発見した。

V を 2つの元からなる体上の 196882 次元のベクトル空間とする。モンスターの大きな部分群 H (最大の部分群をえらんで)は、計算を容易にするような方法で選ぶと、31+12.2.Suz.2 である。ここに Suz とは、鈴木群英語版(Suzuki group)である。モンスターの元は、H の元のワードとして T を余剰生成子(extra generator)となる。V のベクトルの上では、これらのワードのひとつの作用は、確かに素早く計算することができる。この作用を使い、(モンスターの元の指数をもとめるような)計算をすることが可能となった。ウィルソンは、安定子(stgabilizer)を結ぶベクトル u と v が自明な群であることを示した。このようにして、giu = u と giv = v となるような最小の i を見つけることで、モンスターの元 g の指数を計算することが可能となる。

似たような構成が(異なった標数に対し)、ある非局所最大部分群を見つけることで、計算することが可能となる。

ムーンシャイン[編集]

モンスター群は、コンウェイとノートンによるモンストラス・ムーンシャイン予想での 2つの主要なことのうちのひとつである。モンストラス・ムーンシャイン予想は、離散数学と非離散数学を関連付け、最終的にはリチャード・ボーチャーズ(Richard Borcherds)により1992年に証明された。

この設定で、モンスター群はモンスター加群英語版(monster module)の自己同型群と見なすことができる。モンスター加群はグライス代数を含む無限次元代数であり、モンスターリー代数英語版(monster Lie algebra)の上に作用する一般化されたカッツ・ムーディ代数英語版(generalized Kac–Moody algebra)である。

マッカイの観察した E8[編集]

モンスターと拡張されたディンキン図形英語版(Dynkin diagram) \tilde E_8、特に図形のノードとモンスターのある共役クラスとの間に関係があり、マッカイの E8 として知られている[1][2]。従って、これは各庁された図形 \tilde E_6, \tilde E_7, \tilde E_8 と群 3.Fi24', 2. B, と M との関係が付くことを意味する。ここの群は、それぞれ、フィシャー群英語版(Fischer group)、ベビーモンスター群英語版(baby monster group)、およびモンスターの 3/2/1-重の中心拡大である。これらはモンスターのタイプ 1A, 2A, および 3A の元の中心化と関係している散在群英語版(sporadic group)であり、拡大の指数(order)は図形の対称性に対応している。ADE分類のトリニティ英語版(ADE classification: trinities)参照すると、さらにマッカイ対応英語版(McKay correspondence)のタイプの関係があり、モンスターのむしろ小さな群である射影特殊線型群 PSL(2,11) や種数 4 の標準 6 次曲線の 120 この 3重に接する平面を持っている。

部分群構造[編集]

(散在)部分群を示す散在有限群の図、この図では M11 から O'Nan への線が省略されている.

モンスター群は少なくとも 44 の最大部分群の共役類を持っている。約 60 個の同型タイプの非可換単純群が、部分群として、あるいは部分群の商として、見つかっている。ここに表された最大交代群は A12 である。モンスター群は部分商として、26 個の散在群英語版(sporadic group)の内 20 個を持っている。マーク・ローナン英語版(Mark Ronan)の本 Symmetry and the monster を元としたこの図は、部分群たちが互いにどのように関係するかを示している。直線は部分商としての包含関係を表していて、上にある群は下の群を含んでいる。円で囲まれた記号はより大きな散在群には含まれない群を表している。明瞭にするために余計な介在物は示されていない。

脚注[編集]

  1. ^ Arithmetic groups and the affine E8 Dynkin diagram, by John F. Duncan, in Groups and symmetries: from Neolithic Scots to John McKay
  2. ^ le Bruyn, Lieven (22 April 2009), the monster graph and McKay's observation, http://www.neverendingbooks.org/the-monster-graph-and-mckays-observation 

関連項目[編集]

参考文献[編集]

外部リンク[編集]