射影線型群

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数学において、 F 上のベクトル空間 V射影線型群(しゃえいせんけいぐん、英:projective linear group)(射影一般線型群(しゃえいいっぱんせんけいぐん、英:projective general linear group)とも呼ばれる)とは、剰余群

PGL(V) = GL(V) / Z(V)

のことである。ここで、 GL(V) は V 上の一般線型群、Z(V) は V の非零スカラー変換全体の群である。 同様に、射影特殊線型群(しゃえいとくしゅせんけいぐん、英:projective special linear group)は、以下で定義される。

PSL(V) = SL(V)/SZ(V)

ここで、SZ(V) は、行列式が 1 であるスカラー変換全体の群である。

群 Z(V) および SZ(V) は、それぞれ GL(V) および SL(V) の中心(群のすべての元と可換な元の全体)である。 V = Fn のとき、PGL(n, F)、PSL(n, F) の記号も使われる。

この名前は、射影幾何学から発生した。ここに、同次座標系 (x0: x1: …: xn) に作用する射影群は、射影幾何学の基礎をなす群である。 (注意:従って、PGL(n + 1, F) は、n 次元射影空間に対する群である。) 言い換えれば、群 GL(V) の V への自然な作用は、PGL(V) の射影空間 P(V) への作用を引起こす。

従って、射影線型群は、一次分数変換全体の群 PGL(2,C) (時としてメビウス群ともいう)を一般化したものである。ここで、PGL(2,C) は、射影直線に作用する。

有限体 Fq に関する射影特殊線型群 PSL(n,Fq) は、屡 PSL(n,q) または Ln(q) とも書く。

L2(2) (3 次の対称群と同型である) および L2(3) (4 次の交代群と同型である) を除き、n ≧ 2 の場合には、これらは有限単純群になる。