p-群

数学において、ある素数 p に対して、p-群とは全ての元の位数が p の冪乗になっているようなねじれ群である。つまり、その群の任意の元 g に対して、ある非負整数 n が存在して、gの pⁿ 乗が単位元に一致するような群である。このような群はp-primaryや、あるいは単純にprimaryとも呼ばれる。

有限群は、その位数(元の個数)が p の冪乗であるとき、およびそのときに限り p-群となる。 この記事の残りは有限 p-群について扱っている。無限アーベル p -群の例についてはプリューファー群を、無限単純 p -群の例についてはタルスキのモンスター群を参照されたい.

性質

有限 p -群の構造について、実に多くのことが知られている。

自明な群でない中心

同値類の方程式を使った最初の標準的な結果として、非自明な有限 p -群の中心は自明な群(位数1の群)ではあり得ないことが知られている。

この事実は p -群についての多くの帰納的証明の基礎をなす。

例えば、有限 p -群 G の真部分群 H の正規化群 N は真に H を含む(H と N が等しくなることはない)。その理由は以下である。反例となる任意の部分群 H (=N )について、H の中心 Z は自明な群ではなく、正規化群 N に含まれ、また当然 H にも含まれる。しかしそうなると、H / Z という、商群 G / Z での正規化群が N / Z に等しくなるようなより位数の小さな反例が存在するため、無限降下列が構成されてしまう。この事実の系として、任意の有限 p -群は冪零群であることが分かる。

他の方向から考えると、有限 p -群の任意の正規部分群 N と、中心の共通部分は自明な群ではない。これはGが N に対して共役作用をするときに固定される元を考えることによって証明される。任意の中心的(central)部分群は正規部分群であるため、p -群の任意の最小の正規部分群は中心的であり、位数が p である。実際に、有限 p -群のsocleは位数 p の中心的元を含む中心の部分群である。

G が p -群である場合、G / Z も p -群であり、そのため中心は自明な群ではない。G から G / Z への射について、 G / Z の中心の原像は、second centerと呼ばれ、上中心的列はこれらの群から始まる。