確率過程

確率論において、確率過程（かくりつかてい、英語: stochastic process）は、時間とともに変化する確率変数のことである。株価や為替の変動、ブラウン運動などの粒子のランダムな運動を数学的に記述する模型（モデル）として利用している。不規則過程（英語: random process）とも言う^[1]。

確率過程からのサンプリングで得られる系列（実現値）を見本関数^[2]（見本過程^[3]、経路/パス^[2]）という。

数学的な定義

確率空間 $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ ・可測空間 $(S, Σ)$ ・全順序集合 $T$ が与えられたとする。

時刻 $T$ で添字つけられる状態空間 $S$ に値をとる確率過程 $X t$ とは

X\colon \Omega \times T\to S

であり、すべての $t \in T$ に対して $X t$ が $Ω$ 上の確率変数となるものである。換言すれば、確率変数の族

$\{X(\omega ,t)|t\in T\}$

が確率過程である^[4]。

普通、 $T$ としては離散時間 $T = {1, 2, 3, \dots$ } や連続時間 $T = [0, \infty)$ を考え、状態空間 $S$ としてはユークリッド空間 $\mathbb {R} ^{d}$ や整数 $\mathbb {Z}$ を考える。

有限次元分布

$X$ を $S$ に値をとる確率過程とする。すべての有限列 $T'=(t_{1},\ldots ,t_{k})\in T^{k}$ について、 $k$ -タプル $X_{T'}=(X_{t_{1}},X_{t_{2}},\ldots ,X_{t_{k}})$ は $S k$ を値にとる確率変数となる。この確率変数の分布 $\mathbb {P} _{T'}(\cdot )=\mathbb {P} (X_{T'}^{-1}(\cdot ))$ は $S k$ 上の確率測度となる。このようにして得られる分布を $X$ の有限次元分布という。

適切な位相的な制約を加えることで、有限次元分布の「一貫した」集まりを得られる。これを用いて、ある種の確率過程を定義することができる。(例えば、コルモゴロフの拡張。）

例

ブラウン運動の数学的モデルはウィーナー過程である。連続時間でユークリッド空間に値をとる確率過程の典型例である。ウィーナー過程以外に、独立増分過程（レヴィ過程）、ガウス過程、マルチンゲール、マルコフ過程、マルコフ連鎖、定常過程といった確率過程がある^[5]。

脚注

^ 足立修一「システム同定の基礎」東京電機大学出版局、ISBN 978-4-501-11480-0、page.36
^ ^a ^b 「見本関数（経路，sample path）」高岡. (2006). 確率微分方程式の基礎.
^ 「ω ∈ Ω を固定して，X(t, ω) を t の関数とみたとき，これを見本過程という．」井原俊輔. (2009). 6-1 確率過程の一般的性質. 電子情報通信学会. 知識ベース.
^ 「確率過程は確率空間 (Ω, F, P) で定義された確率変数の族 {X(t, ω);t ∈ T} として記述される」井原俊輔. (2009) 6 章確率過程. 知識ベース. 電子情報通信学会.
^ 岩波, 54 確率過程 p.132.

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数学的な定義

有限次元分布

例

脚注

参考文献

関連項目