一貫性 (単位系)

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ジェームズ・クラーク・マクスウェル。一貫性のあるCGS単位系の概念を発展させ、メートル法に電気の単位を含むように拡張する際に主要な役目を果たした。

一貫性のある組立単位（いっかんせい、英語: coherent derived unit、フランス語: unité dérivée cohérente）とは、その単位系における基本単位の冪乗の積として表され、1以外の比例係数を含まない組立単位である。基本単位以外の全ての単位が一貫性のある組立単位である単位系を一貫性のある単位系（英: coherent system of units, 仏: système cohérent d'unités）と言う[1]。「一貫性のある」は英語のカナ転写で「コヒーレントな」とも言い、「一貫性」のことを「コヒーレンス（coherence）」とも言う。

一貫性の概念は、19世紀中頃にケルヴィン卿ウィリアム・トムソンやジェームズ・クラーク・マクスウェルらによって発展し、英国科学振興協会（英語版）によって奨励された。この概念はまず、1873年と1875年に、CGS単位系（メートル法）とFPS単位系（ヤード・ポンド法）に導入された。国際単位系（SI）は1960年に一貫性のある単位系として設計された。

概要

矩形の敷地は間口と奥行をかければ敷地面積が得られる。間口が6間、奥行が10間の敷地の面積は6×10=60坪である。一方、間口が12ヤード、奥行が20ヤードの敷地の面積は12×20/4840≈0.049エーカーである。坪で表す面積が単純な掛け算で求められるのに対して、エーカーで表す面積は単純な掛け算ではなく数係数1/4840を含んでいる。坪が単純な掛け算で求められるのは、間とのあいだに一貫性のある単位だからである。一方でエーカーはヤードとの間に一貫性のない単位のため、計算の際に数係数が必要となる。

一貫性のある単位を用いるとき、数値方程式が量方程式と数係数を含めて同じ形になる。そのため、量方程式にそのまま数値を入れるだけで計算ができる。

一貫性のある単位系であるSIでは、仕事率の単位は「1秒につき1ジュール」と定義されるワットである[2]。一貫性のない米国慣用単位（ヤード・ポンド法）では、仕事率の単位は「1秒につき550フィート重量ポンド」と定義される馬力であり、550という比例係数が入っている。同様にガロンは、立方ヤードほかいずれの長さの単位の立方とも一致せず、何らかの数係数を伴う。

場合によっては、あえて一貫性のない単位が用いられることもある。例えば密度の単位として、しばしばグラム毎立方センチメートル（g/cm3）が用いられる[3]。SIにおける一貫性のある組立単位はキログラム毎立方メートル（kg/m3）であり、g/cm3 はSIにおいて一貫性のない組立単位である[4]。しかし密度に関しては、水の密度がほぼ1.0 g/cm3 であり、水との比較により直感的に分かりやすいため g/cm3 が用いられる。一貫性のある組立単位では、水の密度は 1000 kg/m3 となる。

メートル法以前

人が考案した最も初期の単位は、単位の間で互いに関係を持っていなかった。計量単位が標準化されるようになると、初期の単位のうちのいくつかは共同体をまたがって同じ大きさを持ち、同じ量の異なる単位（例えばフィートとインチ）は一定の比率を保つようになった。しかし、容積と質量の単位が黍に結びつけられていた古代中国は別として、異なる種類の量に関係を持たせた例は、啓蒙時代以前にはほとんど痕跡がない[5]。

同じ種類の量

長さの計測の歴史は、中東の初期の文明（紀元前10000年 – 紀元前8000年）にまで遡る。考古学者は、メソポタミア（英語版）、インド（英語版）、ユダヤやその他の文化で使用された度量衡を再構築することができた。考古学やその他の分野の証拠により、多くの文明において、同じ量の異なる単位の間の比率が整数になるように調節されたことが示されている。古代エジプト（英語版）のような多くの初期の文化においては、必ずしも2、3、5の倍数が使われていたわけではない。例えば、エジプトの「王のキュビット(meh niswt)」は28フィンガー(djeba)、7パーム(shesep)である[6]。紀元前2150年、アッカド帝国（英語版）の皇帝ナラム・シンはバビロニアの度量衡を整理し、多くの単位の間の比率が2、3、5の倍数となるように調整した。例えば、1 shu-si（フィンガー）は6 she（バーリーコーン）、1 kush（キュビット）は30shu-siである[7]。

トルコ・イスタンブール考古学博物館に展示されている、紀元前3千年紀にメソポタミア・ニップルで使われていた物差し（英語版）。様々な単位の目盛りが刻まれている。

別の種類の量

同一規準で計ることのできない（non-commensurableな）量は、異なる次元を持っている。これは、それらの量の加減算が意味をなさないという意味である。例えば、ある物体の体積に質量を加えることは、物理学的には何の意味も持たない。しかし、それらの量やその冪乗を掛けたり割ったりすることで、新しい量（およびその単位）を作り出すことができる。例えば、SIにおける力の単位はニュートン（記号: N）であり、これは N = kg m s−2 と表される。一貫性のある組立単位は他の単位の冪乗の掛け算だけで表され、1以外の比例係数を含まない。SIの圧力の単位パスカル（記号: Pa）は Pa = kg m−1 s−2 と表される一貫性のある組立単位であるが、同じく圧力の単位のバール（記号: bar）は bar = 100000 kg m−1 s−2 で表され、1ではない比例係数 105 を含むため一貫性のある組立単位ではない。

所定の単位の一貫性は基本単位の定義に依存することに注意すべきである。仮に質量の基本単位が 1 ht = 100000 kg であったなら、バールの方が一貫性のある組立単位となる。しかし、全ての基本単位を同じ比例係数によって再定義したならば、一貫性のある単位は一貫性のあるままであり、そうでない単位はそうでないままである。

メートル法

合理的な単位系と水の利用

一貫性の概念は、19世紀の第3四半世紀にメートル法にもたらされた。当初のメートル法には一貫性がなかった。例えばリットルは0.001 m3であり、アールは100 m2である。しかし、質量と長さの単位を水の特性を通じて関係づけたのは、一貫性の先駆けと言えるものであった。すなわち、グラムは融点における1立方センチメートルの水の質量として定義された[8]。

CGS単位系には、エネルギーの単位が2つあった。静力学に基づいた仕事の単位エルグ（記号: erg）と、物体の温度上昇に基づいた熱の単位カロリー（記号: cal）である。力学量の単位を基本単位としているため、エルグのみがCGS単位系において一貫性のある組立単位である（erg = g cm2/s2）。

対照的に、国際単位系は当初から一貫性を持った単位系として設計された。その結果、SIのエネルギーの単位はジュールだけとなった[9]。

次元に関連した一貫性

ジェームズ・クラーク・マクスウェルらによる業績である。

メートル法の各々の変種はいずれも一貫性がある単位系である。各種の組立単位は比例係数を伴わずに基本単位に直接関係がある[1]。一貫性のある単位系では、例えば力・エネルギー・仕事率に関する以下の方程式に定数の因数を含める必要がない。

力 = 質量 × 加速度
エネルギー = 力 × 距離
仕事率 = エネルギー / 時間

一旦一組の一貫性のある単位系が定められたら、それらの単位を使う物理学の他の関係は自動的に真である。

アイザック・アシモフは「CGS単位系では、力の単位は、1 gm（グラム）の質量に1 cm/sec2の加速をもたらすと記述される。従って、力の単位は1 cm/sec2に1 gmを掛けた物である」と書いた[10]。この文章の2つの文は、それぞれ独立した声明である。1文目は定義であるが、2文目はそうではない。1文目は、運動の法則の比例定数が1であるということを意味する。2文目は、それが無次元であることを意味する。アシモフは、それが純粋な「数字の1」であるということを証明するために、両方の文章を一緒に使用している。

一貫性のある単位の一覧

SI

SIの一貫性のある単位の一例

CGS

CGS単位系の一貫性のある単位の一例

  • 加速度（ガル） = 長さ（センチメートル） ÷ 時間の二乗(s2)
  • 力（ダイン） = 質量（グラム） × 加速度(m/s2)
  • エネルギー（エルグ） = 力（ダイン） × 長さ（センチメートル）
  • 圧力（バリ） = 力（ダイン） ÷ 面積(cm2)
  • 粘度（ポアズ） = 質量（グラム） ÷ (長さ（センチメートル） × 時間（秒）)
  • 動粘度（ストークス） = 面積(cm2)÷ 時間（秒）

FPS

FPS単位系の一貫性のある単位

関連項目

出典

  1. ^ a b Working Group 2 of the Joint Committee for Guides in Metrology (JCGM/WG 2). (2008), International vocabulary of metrology — Basic and general concepts and associated terms (VIM) (3rd ed.), 国際度量衡局 (BIPM) on behalf of the Joint Committee for Guides in Metrology, 1.12, http://www.bipm.org/utils/common/documents/jcgm/JCGM_200_2008.pdf 2012年4月12日閲覧。 
  2. ^ SI Brochure, Table 4, p.118
  3. ^ 例えば理科年表2020版pp.392-393では、密度の表中に g cm−3による数値を掲げている。
  4. ^ ただし、かつて主流であったCGS単位系においては g/cm3 が一貫性のある組立単位である。
  5. ^ McGreevy, Thomas (1995). Cunningham, Peter. ed. The Basis of Measurement: Volume 1—Historical Aspects. Chippenham: Picton Publishing. Chapter 1: Some Ancient Units. ISBN 0 948251 82 4 
  6. ^ Clagett, Marshall (1999). Ancient Egyptian science, a Source Book. Volume Three: Ancient Egyptian Mathematics.. Philadelphia: アメリカ哲学協会. p. 7. ISBN 978-0-87169-232-0. http://books.google.com/books?id=8c10QYoGa4UC 2013年5月2日閲覧。 
  7. ^ “Old Babylonian Weights and Measures”. セント・ローレンス大学（英語版） (2001年). 2013年5月2日閲覧。
  8. ^ “La loi du 18 Germinal an 3 la mesure [républicaine de superficie pour les terrains, égale à un carré de dix mètres de côté]” (French). Le CIV (Centre d'Instruction de Vilgénis) - Forum des Anciens. 2010年3月2日閲覧。
  9. ^ SI brochure - §1.2 Two classes of SI Units - p92
  10. ^ Asimov, Isaac (1966). Understanding Physics. New York: New American Library. Vol. I, p. 32 
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