エネルギー・運動量テンソル

エネルギー・運動量テンソル（エネルギーうんどうりょうテンソル、stress‐energy tensor または stress‐energy‐momentum tensor）とは、質量密度・エネルギー流束・運動量を表現する物理量であり、二階のテンソル $T^{\mu \nu }\,$ として表現される。一般相対性理論におけるアインシュタイン方程式では、物質分布を示す右辺の項として登場し、重力を生じさせる源 (source term) としての意味を持つ。アインシュタイン方程式で、真空の状況を考える時は、$T^{\mu \nu }=0\,$ とすればよい。

エネルギー・運動量テンソル $T^{\mu \nu }\,$ は、定義から明らかに対称テンソルである。 以下では、時間座標を0成分とし、空間座標を1,2,3成分とする添字を使い、計量(metric)の符号は$(-,+,+,+)\,$とする。また、アインシュタインの縮約記法を用いる。

共変微分をもちいて

$T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0\,$

とすれば、これは、共変形式のエネルギー・運動量保存則を表すことになる。

定義

エネルギー・運動量テンソルはネーターの定理により、時空の併進対称性の保存電流(ネーターカレント)として定められる。

作用積分が

$S[\phi ]=\int d^{4}x\,{\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi )$

と書かれているとき、時空の微小な併進 x → x' = x + ξ に対して、φ'(x')=φ(x) が成り立つ。 従って、場は

$\delta _{\xi }\phi (x)=\phi '(x)-\phi (x)=\phi (x-\xi )-\phi (x)=-\xi ^{\mu }\partial _{\mu }\phi (x)$

と変換される。 エネルギー・運動量テンソルは

• $T_{\mu }^{\nu }:={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi -\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}$

となる。

別の定義の仕方として、計量の変分により定義する方法がある。 作用積分が

$S[g,\phi ]=\int d^{4}x\,{\mathcal {L}}(g,\partial g,\phi ,\partial \phi )$

と書かれているとき、計量の変分

$g^{\mu \nu }(x)\to g'^{\mu \nu }(x)=g^{\mu \nu }(x)+\delta g^{\mu \nu }(x)$

に対して、

${\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}T_{\mu \nu }={\frac {\delta S}{\delta g^{\mu \nu }(x)}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial g^{\mu \nu }}}-\partial _{\alpha }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\alpha }g^{\mu \nu })}}$

で定義される。

各成分の意味

応力エネルギーテンソル

• 時間-時間成分、即ち $T^{00}\,$ は、エネルギー密度である。
• 時間-空間成分、即ち $T^{0j}\,$ は、$x^{j}\,$の方向へのエネルギーの流れである。
• 空間-時間成分、即ち $T^{i0}\,$ は、i-成分の運動量密度である。
• 空間成分、即ち $T^{ij}\,$ は、$x^{j}\,$の方向への i-成分の運動量の流れである。

完全流体近似のエネルギー・運動量テンソル

物質の平均自由行程が全体のスケールに比べて短いとき、流体近似が可能である。さらに、 流体の静止系に乗ったときに、圧力が等方的であり（応力テンソルが対角的であり）、粘性のない場合、 完全流体として考えることができる。このとき、一般に次のように仮定することができる。

$T^{\mu \nu }=(\rho +p)u^{\mu }u^{\nu }+g^{\mu \nu }p\,$

$\rho ,p\,$ は、静止系で観測したときの質量エネルギー密度と圧力であり、 $g^{\mu \nu },u^{\mu }\,$ は、計量テンソル・流体の4元速度ベクトル（共動座標系ならば、$u^{\mu }=(1,0,0,0)\,$、流体速度を$v^{i}\,$ と観測する場合には$u^{\mu }=(1,v^{i})\,$）である。この仮定は、宇宙モデルを論じるときに通常用いられる。

非相対論的な場合、$g_{\mu \nu }\approx \eta _{\mu \nu },\,|v^{i}|\ll 1,\,p\ll \rho \,$ となるから、行列形式で成分を書くと

$T^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}\rho &\rho v_{x}&\rho v_{y}&\rho v_{z}\\\rho v_{x}&p+\rho v_{x}^{2}&\rho v_{x}v_{y}&\rho v_{x}v_{z}\\\rho v_{y}&\rho v_{x}v_{y}&p+\rho v_{y}^{2}&\rho v_{y}v_{z}\\\rho v_{z}&\rho v_{x}v_{z}&\rho v_{y}v_{z}&p+\rho v_{z}^{2}\end{pmatrix}}$

となる。この空間成分は、古典的流体力学の応力テンソル

$\pi ^{ij}=\rho v^{i}v^{j}+p\delta ^{ij}\,$

と一致する。

電磁場のエネルギー・運動量テンソル

電磁場のラグランジアン密度

${\mathcal {L}}_{\mathrm {em} }(g,\partial g,A,\partial A)=-{\frac {1}{16\pi }}{\sqrt {-g}}g^{\mu \nu }g^{\rho \sigma }F_{\mu \rho }F_{\nu \sigma }$

からエネルギー・運動量テンソルを計算すると

$T_{\mu \nu }=-{\frac {1}{4\pi }}(g^{\rho \sigma }F_{\mu \rho }F_{\nu \sigma }-{\frac {1}{4}}g_{\mu \nu }F^{\rho \sigma }F_{\rho \sigma })$

となる。ここで、$F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$ は電磁場テンソル、$A_{\mu }$ は電磁ポテンシャルである。

$T_{00}$ は電磁場のエネルギー密度、$T_{0j}$ 及び$T_{i0}$ はポインティング・ベクトル、$T_{ij}$ はマクスウェルの応力テンソルである。

関連項目

• 一般相対性理論 - アインシュタイン方程式