等エントロピー過程

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等エントロピー過程(isentropic process)とは、系のエントロピーが一定な熱力学過程[1][2]。任意の可逆断熱過程は等エントロピー過程であることを証明できる。

背景[編集]

熱力学第二法則によれば次が成り立つ。

\delta Q \le TdS

ここで、\delta Qは加熱によって系が獲得するエネルギー量、Tは系の温度dSはエントロピーの変化量である。等号があるのは、可逆過程の場合を意味している。可逆等エントロピー過程では、外部との熱エネルギーのやりとりがないので、断熱過程でもある。非可逆過程の場合、エントロピーは増大する。したがって系から熱を奪う(冷却する)ことで内部エントロピーを一定に保ち、等エントロピーな非可逆過程とする。したがって、非可逆等エントロピー過程は断熱過程ではない。

非可逆過程の場合、等エントロピー変化は周囲の環境からその系を熱的に「絶縁」することでなされる。温度はエントロピーの熱力学的共役変数であり、したがって共役過程は等温過程である。等温過程では系は外界(恒温槽)と熱的に「接続」されている。

等エントロピー流[編集]

等エントロピー流 (isentropic flow) は、断熱的で可逆な流れである。すなわち、流れに対してエネルギーは加えられず、摩擦散逸によるエネルギー損失も起きない。理想気体の等エントロピー流において、流線に沿った圧力、密度、温度の関係式が定義できる。

等エントロピー関係式の導出[編集]

閉鎖系において、系全体のエネルギー変化は、行った仕事と追加された熱の総和である。

dU = dW + dQ\,\!

体積の変化で系がなした仕事は次の式で表される。

dW = -pdV\,\!

ここでp圧力V体積である。エンタルピー (H = U + pV\,\!) の変化は次のようになる。

dH = dU + pdV + Vdp = n C_p dT\,\!

可逆過程は断熱過程なので(すなわち、熱を外界とやり取りしない)、dQ = 0, dS=0\,\! である。ここから次の重要な2つの式が導出される。

dU = -pdV\,\!, および
dH = Vdp\,\! または dQ = dH - Vdp = 0\,\!
dQ = TdS\,\!dS = (1/T) dH - (V/T) dp\,\!

すると、比熱比は次のようになる。

\gamma = \frac{C_p}{C_V} = -\frac{dp/p}{dV/V}\,\!

理想気体では\gamma\,\!は定数なので、理想気体であることを前提として上の式を積分すると、次が得られる。

 pV^{\gamma} = \mbox{constant} \, であるから
\frac{p_2}{p_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma}

理想気体の状態方程式 p V = n R T\,\! を使うと、次のようになる。

 TV^{\gamma-1} = \mbox{constant} \,
 \frac{p^{\gamma -1}}{T^{\gamma}} = \mbox{constant}

また、C_p = C_v + R(モル単位)が成り立つので、

 \frac{V}{T} = \frac{nR}{p} かつ p = \frac{nRT}{V}
 S_2-S_1 = nC_p \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - nR\ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right)
 \frac{S_2-S_1}{n} = C_p \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - R\ln\left (\frac{T_2V_1}{T_1V_2} \right ) = C_v\ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)+R \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)

以上から、理想気体の等エントロピー過程について、次が成り立つ。

 T_2 = T_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{(R/C_v)} または  V_2 = V_1\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{(C_v/R)}

理想気体の等エントロピー関係式一覧[編集]

\frac {p_2} {p_1} =\,\!  \left (\frac{T_2}{T_1} \right )^\frac {\gamma}{\gamma-1} =\,\!  \left (\frac{\rho_2}{\rho_1} \right )^{\gamma} =\,\! \left (\frac{V_1}{V_2} \right )^{\gamma}
\frac {T_2} {T_1} =\,\!  \left (\frac{p_2}{p_1} \right )^\frac {\gamma-1}{\gamma} =\,\!  \left (\frac{\rho_2}{\rho_1} \right )^{(\gamma - 1)} =\,\! \left (\frac{V_1}{V_2} \right )^{(\gamma-1)}
\frac {\rho_2} {\rho_1} =\,\!  \left (\frac{T_2}{T_1} \right )^\frac {1}{\gamma-1} =\,\!  \left (\frac{p_2}{p_1} \right )^\frac {1}{\gamma} =\,\! \frac{V_1}{V_2}
\frac {V_2} {V_1} =\,\!  \left (\frac{T_1}{T_2} \right )^\frac {1}{\gamma-1} =\,\! \frac{\rho_1}{\rho_2} =\,\!  \left (\frac{p_1}{p_2} \right )^\frac {1}{\gamma}

前提は次の通り。


pV^{\gamma} = \text{constant}
\,\!

pV = m R_s T
\,\!

p = \rho R_s T\,\!
\,\!
ここで:
p\,\! = 圧力
V\,\! = 体積
\gamma\,\! = 比熱比 = C_p/C_v\,\!
T\,\! = 温度
m\,\! = 質量
R_s\,\! = 特定の気体の気体定数 = R/M\,\!
R\,\! = 標準気体定数
M\,\! = 特定の気体の分子量
\rho\,\! = 密度
C_p\,\! = 定圧比熱
C_v\,\! = 定積比熱

参考文献[編集]

  • Van Wylen, G.J. and Sonntag, R.E. (1965), Fundamentals of Classical Thermodynamics, John Wiley & Sons, Inc., New York. Library of Congress Calatog Card Number: 65-19470

脚注・出典[編集]

  1. ^ Van Wylen, G.J. and Sonntag, R.E., Fundamentals of Classical Thermodynamics, Section 7.4
  2. ^ Massey, B.S. (1970), Mechanics of Fluids, Section 12.2 (2nd edition) Van Nostrand Reinhold Company, London. Library of Congress Catalog Card Number: 67-25005

関連項目[編集]