等エントロピー過程

等エントロピー過程（isentropic process）とは、系のエントロピーが一定な熱力学過程。任意の可逆断熱過程は等エントロピー過程であることを証明できる。

背景

熱力学第二法則によれば次が成り立つ。

$\delta Q \le TdS$

ここで、$\delta Q$は加熱によって系が獲得するエネルギー量、$T$は系の温度、$dS$はエントロピーの変化量である。等号があるのは、可逆過程の場合を意味している。可逆等エントロピー過程では、外部との熱エネルギーのやりとりがないので、断熱過程でもある。非可逆過程の場合、エントロピーは増大する。したがって系から熱を奪う（冷却する）ことで内部エントロピーを一定に保ち、等エントロピーな非可逆過程とする。したがって、非可逆等エントロピー過程は断熱過程ではない。

非可逆過程の場合、等エントロピー変化は周囲の環境からその系を熱的に「絶縁」することでなされる。温度はエントロピーの熱力学的共役変数であり、したがって共役過程は等温過程である。等温過程では系は外界（恒温槽）と熱的に「接続」されている。

等エントロピー流

等エントロピー流 (isentropic flow) は、断熱的で可逆な流れである。すなわち、流れに対してエネルギーは加えられず、摩擦や散逸によるエネルギー損失も起きない。理想気体の等エントロピー流において、流線に沿った圧力、密度、温度の関係式が定義できる。

等エントロピー関係式の導出

閉鎖系において、系全体のエネルギー変化は、行った仕事と追加された熱の総和である。

$dU = dW + dQ\,\!$

体積の変化で系がなした仕事は次の式で表される。

$dW = -pdV\,\!$

ここで$p$は圧力、$V$は体積である。エンタルピー ($H = U + pV\,\!$) の変化は次のようになる。

$dH = dU + pdV + Vdp = n C_p dT\,\!$

可逆過程は断熱過程なので（すなわち、熱を外界とやり取りしない）、$dQ = 0, dS=0\,\!$ である。ここから次の重要な2つの式が導出される。

$dU = -pdV\,\!$, および

$dH = Vdp\,\!$ または $dQ = dH - Vdp = 0\,\!$

$dQ = TdS\,\!$ ⇒ $dS = (1/T) dH - (V/T) dp\,\!$

すると、比熱比は次のようになる。

$\gamma = \frac{C_p}{C_V} = -\frac{dp/p}{dV/V}\,\!$

理想気体では$\gamma\,\!$は定数なので、理想気体であることを前提として上の式を積分すると、次が得られる。

$pV^{\gamma} = \mbox{constant} \,$ であるから

$\frac{p_2}{p_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma}$

理想気体の状態方程式 $p V = n R T\,\!$ を使うと、次のようになる。

$TV^{\gamma-1} = \mbox{constant} \,$

$\frac{p^{\gamma -1}}{T^{\gamma}} = \mbox{constant}$

また、$C_p = C_v + R$（モル単位）が成り立つので、

$\frac{V}{T} = \frac{nR}{p}$ かつ $p = \frac{nRT}{V}$

$S_2-S_1 = nC_p \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - nR\ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right)$

$\frac{S_2-S_1}{n} = C_p \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - R\ln\left (\frac{T_2V_1}{T_1V_2} \right ) = C_v\ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)+R \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$

以上から、理想気体の等エントロピー過程について、次が成り立つ。

$T_2 = T_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{(R/C_v)}$ または $V_2 = V_1\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{(C_v/R)}$

理想気体の等エントロピー関係式一覧

$\frac {p_2} {p_1}$	$=\,\!$	$\left (\frac{T_2}{T_1} \right )^\frac {\gamma}{\gamma-1}$	$=\,\!$	$\left (\frac{\rho_2}{\rho_1} \right )^{\gamma}$	$=\,\!$	$\left (\frac{V_1}{V_2} \right )^{\gamma}$
$\frac {T_2} {T_1}$	$=\,\!$	$\left (\frac{p_2}{p_1} \right )^\frac {\gamma-1}{\gamma}$	$=\,\!$	$\left (\frac{\rho_2}{\rho_1} \right )^{(\gamma - 1)}$	$=\,\!$	$\left (\frac{V_1}{V_2} \right )^{(\gamma-1)}$
$\frac {\rho_2} {\rho_1}$	$=\,\!$	$\left (\frac{T_2}{T_1} \right )^\frac {1}{\gamma-1}$	$=\,\!$	$\left (\frac{p_2}{p_1} \right )^\frac {1}{\gamma}$	$=\,\!$	$\frac{V_1}{V_2}$
$\frac {V_2} {V_1}$	$=\,\!$	$\left (\frac{T_1}{T_2} \right )^\frac {1}{\gamma-1}$	$=\,\!$	$\frac{\rho_1}{\rho_2}$	$=\,\!$	$\left (\frac{p_1}{p_2} \right )^\frac {1}{\gamma}$

前提は次の通り。

$pV^{\gamma} = \text{constant} \,\!$

$pV = m R_s T \,\!$

$p = \rho R_s T\,\! \,\!$

ここで:

$p\,\!$ = 圧力

$V\,\!$ = 体積

$\gamma\,\!$ = 比熱比 = $C_p/C_v\,\!$

$T\,\!$ = 温度

$m\,\!$ = 質量

$R_s\,\!$ = 特定の気体の気体定数 = $R/M\,\!$

$R\,\!$ = 標準気体定数

$M\,\!$ = 特定の気体の分子量

$\rho\,\!$ = 密度

$C_p\,\!$ = 定圧比熱

$C_v\,\!$ = 定積比熱

参考文献

• Van Wylen, G.J. and Sonntag, R.E. (1965), Fundamentals of Classical Thermodynamics, John Wiley & Sons, Inc., New York. Library of Congress Calatog Card Number: 65-19470

関連項目

• 断熱過程