九九

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算数における九九(くく)とは自然数の乗法などの計算を表にまとめて語呂よく暗記する方法のことである。足し算九九引き算九九掛け算九九割り算九九があるが、単に九九という場合は、普通1桁同士の掛け算九九を指す。また除数が1桁の割り算九九を八算(はっさん)、二桁を見一などという。

足し算と引き算の九九[編集]

江戸時代には寺子屋などで教えられていた。現在は百ます計算などと呼ばれることもある。

掛け算九九[編集]

掛け算九九は、1から9までの自然数同士の掛け算を語呂良く暗記する方法である。1桁と2桁、2桁同士の掛け算を暗記する方法も含めて九九と呼ぶこともあり、この場合は2桁の九九という。ヨーロッパなどでは十二進法の名残で12×12までの掛け算の表を学んでいた。また、ドイツ語圏では大九九 (großes Einmaleins) と呼ばれる20×20までの掛け算をまとめたものもある。インドでは二桁の九九が学ばれているが、地域や学校によって差があり、最低でも1×1~20×20、最高では1×1~99×99まで学ぶ。インドの影響を受け、中国や韓国でも二桁の九九(1×1~20×20)はブームとなった。英語圏では成年者も掛け算九九を完全に言えないことが多く、アメリカの大学生・大学院生の実に38%が九九を完全には覚えていないという調査もある。これには英語には1種類の基数詞しかないことが大きく関係しており、語呂合わせが出来ないという点で九九の習得を容易でなくしているという見解がある。[1]

日本の学習指導要領では小学校二年生の算数の授業で1位数同士の乗法を学習する[2]ことから、1位数同士の乗法を確実に習得する方法として活用されることが多い。

日本には大和時代百済から伝えられ、平安時代には貴族の教養の一つとされていた[3]という説があったが、奈良市平城宮跡で出土した「九九」を記した8世紀木簡に、中国の数学書「孫子算経」と同じ「如」の文字[4]が書かれていることから、九九は中国から伝来したと考えられると、奈良文化財研究所が2010年12月3日に発表した[5]。もともとは九九から唱える(うしろからはじめる)もので、このなごりから九九と呼ばれるようになり、のちに一一からはじまるようになった。現在では、一の段(一一から一九まで)、二の段(二一から二九まで)、…、九の段(九一から九九まで)のように各段に分けて唱えることもしばしば行われる。かつては半九九と呼ばれる半分だけの九九が用いられていた。これは割り算九九と混同しないためにであったと考えられる。割り算九九が廃れるにつれ全九九が主流となった。積が一桁のときは「」を付ける。即ち「が」はゼロを意味し[6]、十の位の空位を意識させるためにも役立つ。特に珠算において、「が」があるおかげで桁取りを間違えることがなくなる[6]

掛け算九九の表
× 1の段 2の段 3の段 4の段 5の段 6の段 7の段 8の段 9の段
1 いんいちがいち にいちがに さんいちがさん しいちがし ごいちがご ろくいちがろく しちいちがしち はちいちがはち くいちがく
2 いんにがに ににんがし さんにがろく しにがはち ごにじゅう ろくにじゅうに しちにじゅうし はちにじゅうろく くにじゅうはち
3 いんさんがさん にさんがろく さざんがく しさんじゅうに ごさんじゅうご ろくさんじゅうはち しちさんにじゅういち はちさんにじゅうし くさんにじゅうしち
4 いんしがし にしがはち さんしじゅうに ししじゅうろく ごしにじゅう ろくしにじゅうし しちしにじゅうはち はちしさんじゅうに くしさんじゅうろく
5 いんごがご にごじゅう さんごじゅうご しごにじゅう ごごにじゅうご ろくごさんじゅう しちごさんじゅうご はちごしじゅう くごしじゅうご
6 いんろくがろく にろくじゅうに さぶろくじゅうはち しろくにじゅうし ごろくさんじゅう ろくろくさんじゅうろく しちろくしじゅうに はちろくしじゅうはち くろくごじゅうし
7 いんしちがしち にしちじゅうし さんしちにじゅういち ししちにじゅうはち ごしちさんじゅうご ろくしちしじゅうに しちしちしじゅうく はちしちごじゅうろく くしちろくじゅうさん
8 いんはちがはち にはちじゅうろく さんぱにじゅうし しはさんじゅうに ごはしじゅう ろくはしじゅうはち しちはごじゅうろく はっぱろくじゅうし くはしちじゅうに
9 いんくがく にくじゅうはち さんくにじゅうしち しくさんじゅうろく ごっくしじゅうご ろっくごじゅうし しちくろくじゅうさん はっくしちじゅうに くくはちじゅういち

1から20まで(暗記法ではないが、参考のため記載する)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 119 126 133 140
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120 128 136 144 152 160
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171 180
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220
12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240
13 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260
14 14 28 42 56 70 84 98 112 126 140 154 168 182 196 210 224 238 252 266 280
15 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300
16 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160 176 192 208 224 240 256 272 288 304 320
17 17 34 51 68 85 102 119 136 153 170 187 204 221 238 255 272 289 306 323 340
18 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216 234 252 270 288 306 324 342 360
19 19 38 57 76 95 114 133 152 171 190 209 228 247 266 285 304 323 342 361 380
20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400

割り算九九[編集]

割り算九九には八算、見一、唐目十六割、四十三割、四十四割、糸割などがある。割り声(わりごえ)、割れ声(われせい)とも呼ばれる。

八算[編集]

掛け算九九が珠算と無関係に有用であるのに対し、割り算九九はそろばんの珠の動きとの関連が大きい。の頃、中国で発明され、その後日本にもたらされたものである。日本では毛利重能の割算書などによって広まった。そろばんの普及と割り算九九の普及は大きく関連している。江戸時代には帰除法のほうが一般的であった(亀井算という商除法も行われていた)。

掛け算九九は被乗数の値を段の名前にしているが、割り算九九は被除数ではなく除数の方を段の名前にしており、また、掛け算九九はどの段も乗数が1から9までの9通りの式があるのに対し、割り算九九はnの段(1≦n≦9)は、10m÷n(1≦m<n)及びn÷nのn通りの式しかない(但し2nが1桁の場合は2n÷nを表すものもあり、3nや4nが1桁の場合も同様である)。ルールは以下の通りである。 -10の倍数を1桁の数で割るタイプは必ず漢字5文字で表される。 --割り切れる場合 ---(除数の値)(被除数の10の位の値)(天または倍)(作)(商の値)


3文字目は、5の段の場合は倍でそれ以外は天となる


例:二一天作五、五一倍作二

---読みは、漢数字はそのまま読み、天作は「てんさくの」、倍作は「ばいさくの」と読む --割り切れず、被除数の10の位と商が一致する場合 ---(除数の値)(被除数の10の位の値)(下)(加)(余りの値)


例:六一下加四

---読みは、漢数字はそのまま読み、下加は「かか」と読む --割り切れず、被除数の10の位と商が一致しない場合 ---(除数の値)(被除数の10の位の値)(商の値)(十)(余りの値)


例:三一三十一

---読みは、一から八(九は存在しない)までの漢数字はそのまま読み、十は「じゅうの」と読む -1桁の数を1桁の数で割るタイプは割り切れるものしか存在せず、漢字4文字で次のように表される --(被除数の値)(進)(商の値)(十) ---例:二進一十、四進二十 --読みは、漢数字はそのまま読み、進は「しんの」と読む --商が1になる式以外は最初の漢数字と段が一致しないので注意が必要である ---例えば「四進二十」は二の段であって四の段ではない

珠算による割り算の方法は、掛け算九九を使う商除法と、割り算九九を使う帰除法がある。そろばん教室で教えるのは、昭和の頃からであろうか商除法が主となり、帰除法(すなわち割り算九九)はほとんど使わなくなってしまった。電卓の出現前、学校教育で珠算をある程度重視した時期であっても、割り算九九は教えていない。その結果、今ほとんどの人は割り算九九の存在さえも知らない。帰除法の利点としては機械的に素早く計算できることが挙げられる。欠点としては新たに割り算九九を覚えなければならないことが挙げられる。

八算という呼び名は除数が2~9までの8通りあることに由来する(除数が1の場合も考えられるが意味がないので除外するのが普通である)。九九と同様に二一天作五で八算全体を表すこともある。一進をいっちん、一十をいんじゅと読む場合もある。「逢二進一十」などのように、逢の字が書かれることもあるが読まれない。倍作(ばいさく、ばいそう)を倍とする場合もある。

五の段は「五一加一」(ごいちかいち)、「五二加二」(ごにかに)、「五三加三」(ごさんかさん)、「五四加四」(ごしかし)と呼ばれていたこともある(元和8年版「割算書」など)。

下の表で上段は表記、中段は読み、下段は表している計算式である。

八算(一の段も含む)の表
÷ (一の段) 二の段 三の段 四の段 五の段 六の段 七の段 八の段 九の段
1 一進一十 二一天作五 三一三十一 四一二十二 五一倍作二 六一下加四 七一下加三 八一下加二 九一下加一
いっしんのいちじゅう にいちてんさくのご さんいちさんじゅうのいち しいちにじゅうのに ごいちばいさくのに ろくいちかかし しちいちかかさん はちいちかかに くいちかかいち
1/1 10/2 10/3 10/4 10/5 10/6 10/7 10/8 10/9
2 二進二十 二進一十 三二六十二 四二天作五 五二倍作四 六二三十二 七二下加六 八二下加四 九二下加二
にっしんのにじゅう にっしんのいちじゅう さんにろくじゅうのに しにてんさくのご ごにばいさくのし ろくにさんじゅうのに しちにかかろく はちにかかし くにかかに
2/1 20/3 20/4 20/5 20/6 20/7 20/8 20/9
3 三進三十 三進一十 四三七十二 五三倍作六 六三天作五 七三四十二 八三下加六 九三下加三
さんしんのさんじゅう さんしんのいちじゅう しさんしちじゅうのに ごさんばいさくのろく ろくさんてんさくのご しちさんしじゅうのに はちさんかかろく くさんかかさん
3/1 3/3 30/4 30/5 30/6 30/7 30/8 30/9
4 四進四十 四進二十 四進一十 五四倍作八 六四六十四 七四五十五 八四天作五 九四下加四
ししんのしじゅう ししんのにじゅう ししんのいちじゅう ごしばいさくのはち ろくしろくじゅうのし しちしごじゅうのご はちしてんさくのご くしかかし
4/1 4/2 4/4 40/5 40/6 40/7 40/8 40/9
5 五進五十 五進一十 六五八十二 七五七十一 八五六十二 九五下加五
ごしんのごじゅう ごしんのいちじゅう ろくごはちじゅうのに しちごしちじゅうのいち はちごろくじゅうのに くごかかご
5/1 5/5 50/6 50/7 50/8 50/9
6 六進六十 六進三十 六進二十 六進一十 七六八十四 八六七十四 九六下加六
ろくしんのろくじゅう ろくしんのさんじゅう ろくしんのにじゅう ろくしんのいちじゅう しちろくはちじゅうのし はちろくしちじゅうのし くろくかかろく
6/1 6/2 6/3 6/6 60/7 60/8 60/9
7 七進七十 七進一十 八七八十六 九七下加七
しちしんのしちじゅう しちしんのいちじゅう はちしちはちじゅうのろく くしちかかしち
7/1 7/7 70/8 70/9
8 八進八十 八進四十 八進二十 八進一十 九八下加八
はっしんのはちじゅう はっしんのしじゅう はっしんのにじゅう はっしんのいちじゅう くはちかかはち
8/1 8/2 8/4 8/8 80/9
9 九進九十 九進三十 九進一十
くしんのくじゅう くしんのさんじゅう くしんのいちじゅう
9/1 9/3 9/9

見一[編集]

二桁以上の割り算の声である。珠算における二桁以上の割り算では特殊な操作が必要となるため、操作中に割られる数の頭と割る数が同じになった場合にこの割声にならい計算する。これを撞除法と言い、また歌の頭の文字から通称で見一と呼ばれる。

暗唱 意味
見一無頭作九一(けんいちむとうさっきゅうのいち) 一を見合わせて、九をつくり、その下桁に一を足す。
見二無頭作九二(けんにむとうさっきゅうのに) 二を見合わせて、九をつくり、その下桁に二を足す。
見三無頭作九三(けんさんむとうさっきゅうのさん) 三を見合わせて、九をつくり、その下桁に三を足す。
見四無頭作九四(けんしむとうさっきゅうのし) 四を見合わせて、九をつくり、その下桁に四を足す。
見五無頭作九五(けんごむとうさっきゅうのご) 五を見合わせて、九をつくり、その下桁に五を足す。
見六無頭作九六(けんろくむとうさっきゅうのろく) 六を見合わせて、九をつくり、その下桁に六を足す。
見七無頭作九七(けんしちむとうさっきゅうのしち) 七を見合わせて、九をつくり、その下桁に七を足す。
見八無頭作九八(けんはちむとうさっきゅうのはち) 八を見合わせて、九をつくり、その下桁に八を足す。
見九無頭作九九(けんくむとうさっきゅうのく) 九を見合わせて、九をつくり、その下桁に九を足す。


これは上の撞除をした後に操作につまった時(珠算の除法では引き算を行うので、下桁が引けなくなる)に用いる声である。

暗唱 意味
帰一倍一(きいちばいいち) 見一無頭作九一をした時、一を払って、下に一を足す。
帰一倍二(きいちばいに) 見二無頭作九二をした時、一を払って、下に二を足す。
帰一倍三(きいちばいさん) 見三無頭作九三をした時、一を払って、下に三を足す。
帰一倍四(きいちばいし) 見四無頭作九四をした時、一を払って、下に四を足す。
帰一倍五(きいちばいご) 見五無頭作九五をした時、一を払って、下に五を足す。
帰一倍六(きいちばいろく) 見六無頭作九六をした時、一を払って、下に六を足す。
帰一倍七(きいちばいしち) 見七無頭作九七をした時、一を払って、下に七を足す。
帰一倍八(きいちばいはち) 見八無頭作九八をした時、一を払って、下に八を足す。
帰一倍九(きいちばいく) 見九無頭作九九をした時、一を払って、下に九を足す。

唐目十六割[編集]

16で割る場合の割り算九九である。小一斤とも呼ばれる。

暗唱
一引六二五(いちひくろくにご) 1/16=0.0625
二一二五(にいちにご) 2/16=0.125
三一八七五(さんいちはちしちご) 3/16=0.1875
四二五(しにご) 4/16=0.25
五三一二五(ごさんいちにご) 5/16=0.3125
六三七五(ろくさんしちご) 6/16=0.375
七四三七五(しちしさんしちご) 7/16=0.4375
八作五(はっさくのご) 8/16=0.5
九五六二五(くごろくにご) 9/16=0.5625

四十三割[編集]

43で割る場合の割り算九九である。銀は四十三匁が一単位であったことによる。

暗唱
一二加下十四(いちにかかのじゅうし) 100/43=214
二四加下二十八(にしかかのにじゅうはち) 200/43=428
三六加下四十二(さんろくかかのしじゅうに) 300/43=642
四九加下十三(しくかかのじゅうさん) 400/43=913
逢四十三進一十(しじゅうさんしんいちじゅう) 43/43=1

四十四割[編集]

44で割る場合の割り算九九である。金は四十四匁が一単位であったことによる。

暗唱
一二加下十二(いちにかかのじゅうに) 100/44=212
二四加下二十四(にしかかのにじゅうし) 200/44=424
三六加下三十六(さんろくかかのさんじゅうろく) 300/44=636
四九加下四(しくかかのし) 400/44=94
逢四十四進一十(しじゅうししんいちじゅう) 44/44=1

糸割[編集]

64で割る場合の割り算九九である。

平方九九[編集]

掛け算九九のうち掛ける数(乗数)と掛けられる数(被乗数)が同じものを平方九九という。掛け算九九の中に含まれているので、あらためて覚える必要はない。

立方九九[編集]

三乗の九九を立方九九という。通常の掛け算九九と同様に唱えて覚える。開立などに用いる。

九九の歌[編集]

日本では、掛け算九九の学習用として複数の楽曲が制作されている。これらの楽曲を九九の歌(くくのうた)または九九ソング(くくソング)と総称する。

主な楽曲[編集]

これ以外にも「九九の歌」は多数制作されている。

テレビ・ラジオ番組からの企画作品
学習教材の付録作品
  • 科学と学習』では、『2年の学習』の教材にオリジナルの「九九の歌」のカセットテープが付属していた。
  • 進研ゼミ小学講座』では、『チャレンジ2年生』の毎年8月号に、コラショとキッズが歌うオリジナルの「九九ソング」のCD(2005年度以前は8cm CD、2006年度以後は12cm CD。さらに以前はカセットテープだった)が付属する。

脚注[編集]

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  1. ^ 大修館書店 『社会人のための英語百科』(大谷泰照、堀内克明監修)32頁
  2. ^ 小学校学習指導要領第2章第3節「算数」「第2各学年の目標及び内容」の〔第2学年〕「2内容」「A数と計算」(3)より
  3. ^ 神奈川県和算研究会事務局 日本の数学文化 in 神奈川<和算かながわ> 日本の数学
  4. ^ 「如」は「同一」の意味。
  5. ^ 『「九九」は中国伝来…平城宮跡から木簡出土』、読売新聞、2010年12月4日。
  6. ^ a b 『週刊朝日百科 日本の歴史103』近代-1-(4)「学校と試験」、朝日新聞社、1988年4月10日発行/通巻631号、p10-117、板倉聖宣「教育の工夫 ――仮名と九九」
  7. ^ 「本家!かけ算「99のうた」」、必携 音楽ビジネス自遊自在(Kプロデュース)、2010年1月7日。

参考文献[編集]

  • 菅原 邦雄 (2008). “そろばん--割り算の九九から広がった日本の数学”. 数学文化 (日本評論社) (10): 100-103.