開立法

開立法（かいりつほう、かいりゅうほう、extraction of cubic root）は、正の実数の立方根の小数による近似値を求める方法の1つである。開立とも。立方根を求めることを開立するという。開法の一種。

立方九九

開立する場合、以下の三乗九九を用いる。1/3九九を用いる場合もある。

表:立方九九

計算	暗唱方法
$1^3=1$	いんいちがいち
$2^3=8$	ににんがはち
$3^3=27$	さざんにじゅうしち
$4^3=64$	ししろくじゅうし
$5^3=125$	ごごひゃくにじゅうご
$6^3=216$	ろくろくにひゃくじゅうろく
$7^3=343$	しちしちさんびゃくしじゅうさん
$8^3=512$	はっぱごひゃくじゅうに
$9^3=729$	くくななひゃくにじゅうく

近似計算法

計算式(1)

開立の近似計算法には、次の代数式を用いる。

$(a+b)^3 = a^{3} + 3a^{2} b + 3ab^{2} + b^{3}$

ここで、$a \gg b$とすると、

$(a+b)^3 = a^{3} + 3a^{2} b$

$b = \frac{(a+b)^{3}-a^{3}}{3a^{2}}$

である。両辺にaを加えて、

$a + b = a + \frac{(a+b)^{3}-a^{3}}{3a^{2}}$

となる。この式の左辺を近似立方根、右辺の $(a+b)^{3}$を与えられた数として扱う。 ただし、$a^{3}$は与えられた数に最も近い完全立方数である。

計算式(2)

また、

$(a-b)^3 = a^{3} - 3a^{2} b + 3ab^{2} - b^{3}$

を用いて、$a \gg b$として、

$(a-b)^3 = a^{3} - 3a^{2} b$

$b = \frac{a^{3}-(a-b)^{3}}{3a^{2}}$

である。したがって、

$a - b = a - \frac{a^{3}-(a-b)^{3}}{3a^{2}}$

この式の左辺を近似立方根、右辺の $(a-b)^{3}$を与えられた数として扱う。 ただし、$a^{3}$は与えられた数に最も近い完全立方数である。

近似計算法を用いた計算例

$\sqrt[3]{1361}$

$\sqrt[3]{1000}=10,~ \sqrt[3]{1331}=11,~ \sqrt[3]{1728}=12$ と $\sqrt[3]{1361}$ に近い数を求めると、$\sqrt[3]{1331}$ が最も近い数であることがわかる。

計算式(1)を用いて、$(a+b)^{3}=1361,~ a=11,~ a^{3}=1331$ として求める数 $a+b$ は、

$a + b = 11+ \frac{1361 - 1331}{3 \times 11^{2}} = 11.08264463\cdots$

となる。電卓により計算すると、

$\sqrt[3]{1361} \fallingdotseq 11.08203137\cdots$

であり近似計算できることがわかる。

珠算による開立法

根の定位

• 立方が整数のとき：立方の1の位から左へ3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根のけた数となる。
• 立方が帯小数のとき：立方の1の位から左へ3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根の整数のけた数となる。
• 立方が小数のとき：立方の小数点以下の0を3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根の小数点以下の0のけた数となる。

倍根法

例: $\sqrt[3]{314432}=68$

	立方の1の位から左へ3けたずつ区分して、根が2けたであることを調べる。（根の定位による。）
	最後の区分された数314に含まれている立方根6を求めて、初根6をおき、初根6の3乗（$6^3=216$）を314から引く。
	初根6の3倍の18を、左におき、その18で残りの立方を割る。
	54を初根6で割って次根8を求める。
	次根8の2乗（$8^2=64$）を66から引く。
	残った2に左の18を掛ける。
	次根8の3乗（$8^3=512$）を引く。
	立方根は68である。

関連項目

• 開平法