開立法

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開立法(かいりつほう、かいりゅうほう、extraction of cubic root)は、実数立方根小数による近似値を求める方法の1つである。開立とも。立方根を求めることを開立するという。開法の一種。

立方九九[編集]

開立する場合、以下の三乗九九を用いる。1/3九九を用いる場合もある。

表:立方九九
計算 暗唱方法
1^3=1 いんいちがいち
2^3=8 ににんがはち
3^3=27 さざんにじゅうしち
4^3=64 ししろくじゅうし
5^3=125 ごごひゃくにじゅうご
6^3=216 ろくろくにひゃくじゅうろく
7^3=343 しちしちさんびゃくしじゅうさん
8^3=512 はっぱごひゃくじゅうに
9^3=729 くくななひゃくにじゅうく

近似計算法[編集]

計算式(1)[編集]

開立の近似計算法には、次の代数式を用いる。

 (a+b)^3 = a^{3} + 3a^{2} b + 3ab^{2} + b^{3}

ここで、a \gg bとすると、

 (a+b)^3 = a^{3} + 3a^{2} b
 b = \frac{(a+b)^{3}-a^{3}}{3a^{2}}

である。両辺にaを加えて、

 a + b = a + \frac{(a+b)^{3}-a^{3}}{3a^{2}}

となる。この式の左辺を近似立方根、右辺の (a+b)^{3}を与えられた数として扱う。 ただし、a^{3}は与えられた数に最も近い完全立方数である。

計算式(2)[編集]

また、

 (a-b)^3 = a^{3} - 3a^{2} b + 3ab^{2} - b^{3}

を用いて、 a \gg b として、

 (a-b)^3 = a^{3} - 3a^{2} b
 b = \frac{a^{3}-(a-b)^{3}}{3a^{2}}

である。したがって、

 a - b = a - \frac{a^{3}-(a-b)^{3}}{3a^{2}}

この式の左辺を近似立方根、右辺の (a-b)^{3}を与えられた数として扱う。 ただし、a^{3}は与えられた数に最も近い完全立方数である。

近似計算法を用いた計算例[編集]

 \sqrt[3]{1361}
 \sqrt[3]{1000}=10,~ \sqrt[3]{1331}=11,~ \sqrt[3]{1728}=12  \sqrt[3]{1361} に近い数を求めると、 \sqrt[3]{1331} が最も近い数であることがわかる。
計算式(1)を用いて、(a+b)^{3}=1361,~ a=11,~ a^{3}=1331 として求める数 a+b は、
a + b = 11+ \frac{1361 - 1331}{3 \times 11^{2}} = 11.08264463\cdots
となる。電卓により計算すると、
 \sqrt[3]{1361} \fallingdotseq 11.08203137\cdots
であり近似計算できることがわかる。

珠算による開立法[編集]

根の定位[編集]

  • 立方が整数のとき:立方の1の位から左へ3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根のけた数となる。
  • 立方が帯小数のとき:立方の1の位から左へ3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根の整数のけた数となる。
  • 立方が小数のとき:立方の小数点以下の0を3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根の小数点以下の0のけた数となる。

倍根法[編集]

例:  \sqrt[3]{314432}=68

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立方の1の位から左へ3けたずつ区分して、根が2けたであることを調べる。(根の定位による。)
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最後の区分された数314に含まれている立方根6を求めて、初根6をおき、初根6の3乗(6^3=216)を314から引く。
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初根6の3倍の18を、左におき、その18で残りの立方を、初根6の右4けために商を得るけたまで割る。
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54を初根6で割って次根8を求める。
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8×1=8を引く。 次根8の2乗(8^2=64)を66から引く。
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残った2に左の18を掛ける。(余りのかけ戻し)
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次根8の3乗(8^3=512)を引く。
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立方根は68である。

関連項目[編集]