ヘンペルのカラス

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黒いカラス

ヘンペルのカラス (Hempel's ravens) とは、ドイツカール・ヘンペルが1940年代に提出した、帰納法が抱える根本的な問題(「帰納法の問題英語版」)を喚起する問題である。また、対偶論法による帰納的実証の、直観との相違を指摘した問題である[要出典]、ともいわれる。「カラスのパラドックス」とも呼ばれるが、パラドックスとして扱うべきかどうかには異論もある[1]

問題点[編集]

「ヘンペルのカラス」は「全てのカラスは黒い[注釈 1]」という命題を証明する以下のような対偶論法を指す[2]

「AならばBである」という命題の真偽は、その対偶「BでないものはAでない」の真偽と必ず同値となる[3][4][5]全称命題「全てのカラスは黒い」という命題はその対偶「黒くないものはカラスでない」と同値であるので、「全てのカラスは黒い」という命題を証明するには「全ての黒くないものはカラスでない」ことを証明すれば良い[3][4]。そして「全ての黒くないものはカラスでない」という命題は、世界中の黒くないものを順に調べ、それらの中に一つもカラスがないことをチェックすれば証明することができる[4]。こうして、カラスを一羽も調べること無く、「カラスは黒い」という命題が、事実に合致するか否かを証明できるのである[3][4]。これは日常的な感覚からすれば奇妙にも見える[3][4]

こうした、一見素朴な直観に反する論法の存在を示したのが「ヘンペルのカラス」である。

なぜ直観に反するか[編集]

黒くなくカラスでない(リンゴの実)
黒くなくカラスでない(カラスミ

「ヘンペルのカラス」の奇妙さを表したものとして「室内鳥類学」という表現がある[6]。これは、実物のカラスを観察することなしに(カラスが存在するかどうか明らかでない場合でも)、カラスについての性質を確証できてしまうことを表している。この論法の「実物を観察できなくても」という前提を「観察できないものについても」と言い換えることができるならば、これは「八本脚でないもの」を調べて「火星人ではない」ことを確認していき、「火星人は八本脚である」と結論づけるのと形式的には同様の議論である[7]

また、カラスの存在が確かなものとして前提にでき、さらに「黒くないもの」の総数を有限であると仮定したとしても、「ヘンペルのカラス」が直観に反する理由は、「黒くないもの」の数が想像を絶して大きいことが挙げられる[3][4]。ある命題について、それが真であることを確かめるには個々の事例を全て調べ尽くすことができればよい。命題の正しさの信頼度合は、調べた事例の全事例に対する比率に一致する(確証性の原理)[3]。しかし「黒くないものはカラスではない」という命題の真偽を調べる場合、また「黒くないもの」の数は極めて大きいので、「黒くないもの」を全て調べることは事実上不可能である[8][4]。この論法を「カラスのパラドックス」とも呼ぶのは、ヘンペルの論法に従って「カラスが黒い」ことを証明するのが現実には不可能であるという見地に立ったものである[8]。このように不可能なことを可能であるかのように扱う論法は、相手を納得させるための証明手段としては不適切である[4]

一方、実際に調べなければならない個々の事例が常識的な数であれば、対偶論法による証明は有効である[9]。例えばカラスを含む数十種類の動物を飼っている動物園があったとする。この動物園には、赤・青・黄色・黒の四つの檻があり、この他の檻や、檻の外で飼育されている動物は存在しない。黒以外の三つの檻をすべて見終わった時点で、(黒以外の)どの檻にもカラスはいないことを確かめた。このとき、カラスがこの動物園で飼育されているという前提が確かならば、「カラスは黒い檻にいる」ということは、実際にカラスを見るまでもなく明らかである。

なお、元の命題に当てはまるものが対象全体のうち多数を占める場合など、対偶を調べた方が容易となる場合もある[10][4]。例えば多数のカラスで構成された群れの中に、少数の黒くないものが混じっているような場合に、群れの中の全てのカラスが黒いことを証明するような場合がそうである[10]

現実の世界と論理学との関係[編集]

以上の説明で分かるように、対偶論法を用いると日常の感覚とは相反する帰結が得られる。特に、宇宙には無限に「黒くないもの」があるとすれば、実際にヘンペルの論法を証明に用いることはできなくなる。「黒くないものはカラスでない」ことを証明するために「黒くないもの」を順に調べようとしても、その作業は永遠に終わらないからである。

さらに、「『黒くないもの』の数」といったときに何を考えるかも問題になる。例えば、肌色の指を「黒くないもの」の一つと数えるか、それともその指や手足全体を含んだ人間一人を一つと数えるかによって、「黒くないもの」の数は変わる。一般的には、世界中の事物から何を「黒くないもの」として分節化・概念化するかという可能性は無限にあり、「黒くないもの」を無限に見積もることも可能である。

ゆえに、ヘンペルの論法による確証は、対象が存在する・対象の総数が事実上有限と見なしてよい…などの諸前提が成り立ってはじめて、現実的に有用なものとなる。

もっとも、通常の論理学では、この作業が仮に不可能であってもヘンペルの論法は正しいことになる[3]。従って、実際には証明の遂行ができなくても「論理的には正しい」ということになり、感覚的には奇妙な結論が得られることに変わりはない。そこでこうした超越的な操作や奇妙さを取り除いた、より「直観に合致する」論理学が(通常の論理学とは別に)構築された。ヘンペルの論法の核心部分である対偶論法が原因であるとする考えから、対偶論法を認めない、という立場をとったのが直観主義論理学である。すなわち、直観主義論理は対偶論法から演繹される事実を普通の論理学体系から取り去ったものであり、日常の感覚と論理学上の帰結を合致させたものである。[要出典]

白いカラスの実在[編集]

黒くないがカラスである(アルビノハシボソガラス

余談であるが、「全てのカラスは黒い」という命題は反証されている[11]。というのも、アルビノもしくは白変種のカラス、すなわち「黒くない」カラスの実在が観測されているからである[8][11][12][13]。また、東南アジアに生息するカラスの多くは、腹が白い、全体に灰色であるなど、黒一色でない。

このように黒くないカラスが1羽でも見つかれば全称命題である「全てのカラスは黒い」は誤りであると証明することができる[11]。例えば「ヘンペルのカラス」の方法に従ってこの命題の真偽を確かめる場合、白い鳩や白鳥など、世界中のあらゆる「黒くないもの」を虱潰しに調べていけば、いつか「黒くない」アルビノのカラスに行き当たるので、命題が偽であることが証明される。「全てのカラスは黒い」という仮定が誤りであることと、その対偶「黒くないものはカラスでない」もまた誤りであることは同値である。

こうした事実は、科学の分野における命題には、実験や観察といった経験によって誤りであることが証明される可能性(反証可能性)があることを示している[11]

脚注[編集]

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注釈[編集]

  1. ^ 英語では "All ravens are black." となる命題。

出典[編集]

  1. ^ 森田 (2010)、31頁。
  2. ^ 森田 (2010)、31–32頁。
  3. ^ a b c d e f g 森田 (2010)、32頁。
  4. ^ a b c d e f g h i 岡部 (2010)、136頁。
  5. ^ “たいぐう【対偶】”, デジタル大辞林goo辞書, 三省堂, http://dictionary.goo.ne.jp/leaf/jn2/132910/m0u/ 2011年8月23日閲覧。 
  6. ^ 野矢 (1996)、107–109頁。
  7. ^ 野矢 (1996)、109頁。
  8. ^ a b c 逢沢 (2001)、74頁。
  9. ^ 岡部 (2010)、137頁。
  10. ^ a b 森田 (2010)、169頁。]]
  11. ^ a b c d 森田 (2010)、34頁。
  12. ^ “白いカラス発見 撮影に成功 - 四日市”. 伊勢新聞 (伊勢新聞社). (2008年10月22日) 
  13. ^ “あれっ、純白のカラス”. 琉球新報 (琉球新報社). (1997年9月4日). http://ryukyushimpo.jp/news/storyid-90205-storytopic-86.html 2009年11月26日閲覧。 

参考文献[編集]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]