物理数学

物理数学（ぶつりすうがく、英: physical mathematics^[1]）とは、物理学で用いられるいくつかの数学的手法を総称した呼び方であり、特定の数学分野を示すものではない。代表的な手法・分野は以下の通り。ある物理現象を扱う際にはこのうちいくつかの手法を複合的に用いることが多い。

日本の大学の理学部物理学科ではこれらの分野を物理数学という科目名で教育されている。

物理現象に対する適用例[編集]

物理数学が実際にどのように物理現象に適用されるか調べる初等的な例として、電磁気学における静電ポテンシャルの問題について述べる。ここでは用いた物理数学の手法を明示するため、意図的に詳しく解答を掲載している。

例題[編集]

無限に広がる真空中の誘電率を $\varepsilon _{0}=1$ 、電荷密度を $\rho ({\mathbf {r} })$ とするとき、静電ポテンシャル $\phi ({\mathbf {r} })$ はポアソン方程式 $\Delta \phi ({\mathbf {r} })=-\rho ({\mathbf {r} })$ を満たす。ただし $\Delta$ はベクトル解析における3次元ラプラシアンであり、 $\Delta ={\dfrac {{\partial }^{2}}{\partial x^{2}}}+{\dfrac {{\partial }^{2}}{\partial y^{2}}}+{\dfrac {{\partial }^{2}}{\partial z^{2}}}$ である。これを偏微分方程式とみなしてフーリエ変換を用いて解き、 $\phi ({\mathbf {r} })$ を求めよ。

解答[編集]

この偏微分方程式の解として積分方程式 $\phi ({\mathbf {r} })=\int G({\mathbf {r} },{\mathbf {r'} })\rho ({\mathbf {r'} })d^{3}{\mathbf {r'} }$ を仮定し、ポアソン方程式に代入すると次の方程式を得る。

\int d^{3}{\mathbf {r'} }[-\Delta G({\mathbf {r} },{\mathbf {r'} })]\rho ({\mathbf {r'} })=\rho ({\mathbf {r} })

ここでΔ関数の性質から直ちに次の式を得る。

\Delta G({\mathbf {r} },{\mathbf {r'} })=-\delta ({\mathbf {r} }-{\mathbf {r'} })

このような方程式の解 $G({\mathbf {r} },{\mathbf {r'} })$ をグリーン関数と呼ぶ。 $G({\mathbf {r} },{\mathbf {r'} })$ のフーリエ変換を $g({\mathbf {k} },{\mathbf {r'} })$ として両辺をフーリエ変換すると次の式を得る。