危険関数

危険関数（きけんかんすう、英: risk function）またはリスク関数は、決定理論および推定理論において、損失関数Lの期待値であり、決定則δの危険関数をRとすると、以下のように定義される。

$R(\theta,\delta) = {\mathbb E}_\theta L\big(\theta,\delta(X) \big)= \int_\mathcal{X} L\big( \theta,\delta(X) \big) \, dP_\theta(X)$

ここで、

• $\theta$は固定値であるが、状態（state of nature）がことによると不明である。
• Xは確率論的に母集団から抽出された観測値のベクトルである。
• $E_{\theta}$は、全ての母集団Xの値の期待値である。
• $dP_\theta$は、θによってパラメータが決定するXの事象空間を通した確率測度であり、積分はXの全体の支持の上に評価される。

例

• スカラーのパラメータ$\theta$について、$\hat\theta$をアウトプットする決定関数は、$\theta$の推定であり、二次の損失関数は次のようになる。

$L(\theta,\hat\theta)=(\theta-\hat\theta)^2$

その危険関数は、推定の平均二乗誤差となる。

$R(\theta,\hat\theta)=E_\theta(\theta-\hat\theta)^2.$

• 密度推定において、未知のパラメータは確率密度（probability density）そのものである。その損失関数は、典型的に適切な関数空間における規範に選ばれる。例えば$L^2$の規範は、次のようになる。

$L(f,\hat f)=\|f-\hat f\|_2^2\,$

その危険関数は平均積分二乗誤差となる。

$R(f,\hat f)=E \|f-\hat f\|^2.\,$

参考文献

• Nikulin, M.S. (2001), “Risk of a statistical procedure”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/R/r082490.htm 
• Berger, James O. (1985). Statistical decision theory and Bayesian Analysis (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96098-8. MR0804611. 
• DeGroot, Morris (2004) [1970]. Optimal Statistical Decisions. Wiley Classics Library. ISBN 0-471-68029-X. MR2288194. 
• Robert, Christian (2007). The Bayesian Choice (2nd ed.). New York: Springer. doi:10.1007/0-387-71599-1. ISBN 0-387-95231-4. MR1835885. 

関連項目

• ヒストグラム
• カーネル密度推定