危険関数

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危険関数(きけんかんすう、: risk function)またはリスク関数は、決定理論および推定理論英語版において、損失関数英語版L期待値であり、決定則英語版δの危険関数をRとすると、以下のように定義される。

 R(\theta,\delta) = {\mathbb E}_\theta L\big(\theta,\delta(X) \big)= \int_\mathcal{X} L\big( \theta,\delta(X) \big) \, dP_\theta(X)

ここで、

  • \thetaは固定値であるが、状態(state of nature)がことによると不明である。
  • X確率論的に母集団から抽出された観測値のベクトルである。
  • E_{\theta}は、全ての母集団Xの値の期待値である。
  • dP_\thetaは、θによってパラメータが決定するXの事象空間を通した確率測度であり、積分Xの全体の支持の上に評価される。

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  • スカラーのパラメータ\thetaについて、\hat\thetaをアウトプットする決定関数は、\thetaの推定であり、二次の損失関数は次のようになる。
L(\theta,\hat\theta)=(\theta-\hat\theta)^2
その危険関数は、推定の平均二乗誤差英語版となる。
R(\theta,\hat\theta)=E_\theta(\theta-\hat\theta)^2.
  • 密度推定英語版において、未知のパラメータは確率密度(probability density)そのものである。その損失関数は、典型的に適切な関数空間における規範に選ばれる。例えばL^2の規範は、次のようになる。
L(f,\hat f)=\|f-\hat f\|_2^2\,
その危険関数は平均積分二乗誤差英語版となる。
R(f,\hat f)=E \|f-\hat f\|^2.\,

参考文献[編集]

関連項目[編集]