ARCHモデル

ARCHモデル（あーちモデル、英:Autoregressive conditional heteroscedasticity model）とは、統計学や計量経済学において分散不均一性を示す時系列データに適用されるモデルである。日本語では、「分散自己回帰モデル」「分散不均一モデル」等と称される。1982年にロバート・エングル（Robert Engle）によって提示された 。

分散不均一性

株価の上昇率をプロットすると、ある時期（景気が安定して拡大している時期など）には変動率（ボラティリティ）が平均して小さく、別の時期（不況の直前など）には変動率が平均して大きくなっているのが観察される。このような、変動率が時期によって異なった水準を示すことを、ボラティリティ・クラスタリング（volatility clustering）、または分散不均一性（heteroscedasticity）と呼ぶ。分散不均一性は、金融時系列データをはじめ、幅広く見られる現象である。

ARCH(q)モデル

時刻$t$における株価上昇率の平均からの乖離幅を$u_t$とする。$u_t$は確率変数だが、これをボラティリティ$\sigma_t$と確率変数$\varepsilon_t$（標準正規分布を仮定することが多い）の積に分解する：

$u_t=\sigma_t \varepsilon_t$

ここで、ボラティリティ$\sigma_t$は、時刻$t-1$までの情報で確定していると考える（条件付ボラティリティ、または条件付分散不均一性＜conditional heteroscedasticity＞）。すなわち、時刻$t-1$の時点で、時刻$t$における株価のボラティリティは予測できる、と考えるのである。他方、乖離幅$u_t$そのものは、実際に時刻$t$が到来し、確率変数$\varepsilon_t$の値が確定するまでは、確定しない。

ARCH(q)モデルでは、条件付ボラティリティ$\sigma_t$を、次のようにモデル化する：

$\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1 u_{t-1}^2+\cdots+\alpha_q u_{t-q}^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_{i} u_{t-i}^2$

GARCH(p,q)モデル

1986年、Engleの弟子Bollerslevは、ARCHモデルを一般化したGARCHモデル（がーちモデル、英：Generalized ARCH model）を提唱した 。GARCHモデルでは、条件付ボラティリティ$\sigma_t$は以下のようにモデル化される：

$\sigma_t^2=\alpha_0 + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \cdots + \alpha_q u_{t-q}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \cdots + \beta_p\sigma_{t-p}^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_i u_{t-i}^2 + \sum_{i=1}^p \beta_i \sigma_{t-i}^2 .$

すなわち、現在の条件付ボラティリティは過去の条件付ボラティリティにも依存するのである。金融時系列については、GARCHモデルのほうがより適切な場合も多い。