モーメント (数学)

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数学確率論および関係した諸分野におけるモーメントmoment)または積率(せきりつ)とは、物理学におけるモーメントを抽象化した概念である。

実変数xに関する関数 f(x)\,n 次モーメント \mu^{(0)}_n は、

\mu^{(0)}_n=\int_{-\infty}^\infty x^n f(x) dx

で表される。妥当な仮定の下で高次モーメントすべての情報から関数f(x)は一意に決定される。\mu = \mu^{(0)}_1 / \mu^{(0)}_0fを密度関数とする測度重心を表している。

関数 f(x)\,c 周りの n 次モーメント \mu^{(c)}_n は、

\mu^{(c)}_n=\int_{-\infty}^\infty (x - c)^n f(x) dx

で表される。

重心周りのモーメントμn = μ(μ)n中心モーメントまたは中心化モーメントといい、こちらを単にモーメントということもある。

確率分布のモーメント[編集]

確率密度関数 f(x)\, のモーメントには、次のような要約統計量としての意味付けがある。

変量統計のモーメント[編集]

変量統計においては、データ x1 ... xN のモーメントは

\mu^{(0)}_n = \sum_{i = 1}^N x_i^n, \quad \mu^{(c)}_n = \sum_{i = 1}^N (x_i - c)^n, \quad \mu_n = \sum_{i = 1}^N (x_i - \mu)^n

で表される。

変量統計のモーメントには、確率密度関数のモーメントに似た、次の性質がある。

  • \mu^{(0)}_0 = N
  • \mu = \mu^{(0)}_1 / N は平均値。
  • \sigma^2 = \mu_2 / N = \{ \mu^{(0)}_2 - (\mu^{(0)}_1)^2 \} / N は分散、\sigma = \sqrt{\mu_2 / N} は標準偏差。
  • \gamma_1 = \mu_3 / N \sigma^3\, は歪度。
  • \gamma_2 = \mu_4 / N \sigma^4 - 3\, は尖度。

画像のモーメント[編集]

2変数関数 f(x, y)\,(m + n) 次モーメント \mu^{(0)}_{mn} は、

\mu^{(0)}_{mn} = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty x^m y^n f(x, y) dxdy

または、デジタル画像に対しては、

\mu^{(0)}_{mn} = \sum_{x} \sum_{y}  x^m y^n f(x, y)

で表される。

2変数関数のモーメントは、画像の特徴抽出に利用される。

画像のモーメントには、次のような性質がある。

  • \mu^{(0)}_{00}面積
  • (\mu^{(0)}_{10} / \mu^{(0)}_{00}, \mu^{(0)}_{01} / \mu^{(0)}_{00})重心
  • 慣性主軸(周りの2次モーメントが最小になる直線)は重心を通り、傾きは \tan \theta で、 \theta \tan 2\theta = 2 \mu^{(0)}_{11} / (\mu^{(0)}_{20} - \mu^{(0)}_{02})をみたす。
  • 慣性主軸を x 軸に一致させれば、中心モーメントは平行移動・回転に対し不変、中心モーメントを  \mu^{(0)}_{00} で割った値は拡大縮小に対し不変。

モーメントは同様に、多変数関数に拡張できる。

参考文献[編集]