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最初から6項の和を正方形の分割図として描いたもの
実数直線上の等比数列1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ···
数学において、級数 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ··· は、絶対収束する幾何級数の初歩的な例である。
その和は以下のようになる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots &=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}\\&={\frac {\dfrac {1}{2}}{1-{\dfrac {1}{2}}}}\\&=1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c51de95bc3f9103020ea5cf9dfbf8efa707e5357)
また、2進数では
- 0.111111…
のように、"0." の後に 1 を無数に並べて表すこともできる。
直接証明[編集]
他の級数と同様、無限和
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be2389576944ffdc7f40acf3a7fedcfd7a824766)
は、最初の n 項の和
![{\displaystyle s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcfdf8c768f01ee68d1b15cbd07ea8adcd323ff9)
の、n が無限に大きくなるときの極限として定義される。
sn (上式の両辺)に 2 を乗じることにより、有用な関係性がわかる。
![{\displaystyle 2s_{n}={\frac {2}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{8}}+{\frac {2}{16}}+\cdots +{\frac {2}{2^{n}}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}=1+s_{n}-{\frac {1}{2^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d975ffe604db615d7d58773813ab6cf61d7cc809)
両辺から sn を減じると次のような式になる。
![{\displaystyle s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3617fdbb25343b88b54f7cf2baa040339815cd0)
よって、
より、
この級数は、ゼノンのパラドックスの一つの表現として使われた(二分法の説明に当たる)[1]。また、ホルスの目は、かつてこの級数の最初の6項を表したものだと考えられていた[2]。
関連項目[編集]