ゼノンのパラドックス

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ゼノンのパラドックスは、エレア派ゼノンの考えたパラドックスで、パルメニデスの「感覚は全て疑わしいものである」こと、特に「一があるのであって多があるのではない、多があるとすれば運動は不可能である」という学説をピタゴラス学派の多を主張する立場を批判して唱えたものであった。

今日、ゼノンのパラドックスと呼ばれるものは、アリストテレスの『自然学』と、それについてキリキアのシンプリキオス英語版が著した注釈との中に8つ伝わっている。そのうちのいくつかは、本質的に同じ問題を取り扱ったものである。

パラドックスの概要[編集]

ゼノンの論証がパラドクシカルである所以は「それらが導く結論はいかにも非現実的であるにもかかわらず、結論を導く論証過程自体は正しそうに見える」点にある。つまり論証の前提の正しさを受け入れる者にとって、論証の結論を拒否するためには論証過程のどこに誤りが潜んでいるかを指摘する必要があるが、それは容易ではない。結果として後に多くの哲学者がこの課題に挑戦した。

ただしゼノンの意図としては、これらの論証によってその非現実的な結論を主張したかったわけではない。「世界が不可分な要素的な点やアトムからなる」という前提から「運動が不可能となる」という帰結を導き出すことで、運動が可能であるという現実との矛盾を示そうとした、一種の背理法である。その場合「運動自体を否定しよう」というつもりはそもそもゼノンにはなく「否定されるべきはむしろ、そのような非現実的な結論を導く際に前提としてはたらいていた考え方にある」というのがゼノンの考えであった。

以下、ゼノンが提示したとされるパラドックスのうち「運動のパラドックス」としてアリストテレス『自然学』[1]が伝える4つを掲げる。

二分法[編集]

「まず第一の議論は、移動するものは、目的点へ達するよりも前に、その半分の点に達しなければならないがゆえに、運動しない、という論点にかんするものである」[1]。この文は二通りに解釈しうる。

前進型解釈[編集]

目的点の半分の点にまで到着したとしても更に残りの半分の半分にも、到着しなければならない。更にその残りの半分にも同様、と到着すべき地点が限りなく前に続く故に到着しない。だから運動はない、と見る解釈。

後進型解釈[編集]

目的点の半分の点まで到着するには、その前の半分の半分に着いていなければならない。更にその前の半分にも同様、と限りなく先に着いているべき点があり、一歩も進み出で得ない。だから運動はない、と見る解釈。

古代から後退型の解釈が優勢であったが、アリストテレスは、これはアキレスと亀と同じ論法であると述べていることからも、前進型と解していたと見られる[2]

アキレスと亀[編集]

「走ることの最も遅いものですら最も速いものによって決して追い着かれないであろう。なぜなら、追うものは、追い着く以前に、逃げるものが走りはじめた点に着かなければならず、したがって、より遅いものは常にいくらかずつ先んじていなければならないからである、という議論である」[1]

あるところにアキレスがいて、2人は徒競走をすることとなった。しかしアキレスの方が足が速いのは明らか[3]なので亀がハンディキャップをもらって、いくらか進んだ地点(地点Aとする)からスタートすることとなった。

スタート後、アキレスが地点Aに達した時には、亀はアキレスがそこに達するまでの時間分だけ先に進んでいる(地点B)。アキレスが今度は地点Bに達したときには、亀はまたその時間分だけ先へ進む(地点C)。同様にアキレスが地点Cの時には、亀はさらにその先にいることになる。この考えはいくらでも続けることができ、結果、いつまでたってもアキレスは亀に追いつけない。

ゼノンのパラドックスの中でも最もよく知られたものの一つであり、多数の文献は彼の手に帰しているが、歴史家パボリノスの説によれば、この議論を創始したのはパルメニデスであるという[4]

その議論やキャラクターの面白さから、アキレスと亀という組み合わせは、この論自体とともに多くの作家に引用された。たとえば、ルイス・キャロルの『亀がアキレスに言ったこと』や、ダグラス・ホフスタッターの啓蒙書『ゲーデル、エッシャー、バッハ』に主役として登場する。

飛んでいる矢は止まっている[編集]

「もしどんなものもそれ自身と等しいものに対応しているときには常に静止しており、移動するものは今において常にそれ自身と等しいものに対応しているならば、移動する矢は動かない、とかれは言うのである。」アリストテレス『自然学』

アリストテレスは続けて、「この議論は、時間が今から成ると仮定することから生ずる」と述べている。この言から、ゼノンも「時間が瞬間より成る」を前提としていると解される。瞬間においては矢は静止している。どの瞬間においてもそうである。という事は位置を変える瞬間はないのだから、矢は位置を変えることはなく、そこに静止したままである。ゼノンの意が単純にこうであったのかは確定的な事ではない。

競技場[編集]

第四の議論としてアリストテレスの伝えるところは、先の三つとは異なり、ゼノンの論として不明確なところがあって、解釈が分かれる。

アリストテレスによる説明[編集]

第四の議論は、競走場において、一列の等しい物塊の傍を、反対方向に、一方は競走場の終点から、他方はその折返し点から、等しい速さで運動する二列の等しい物塊にかんするものである。この議論では、ゼノンは、半分の時間がその二倍の時間に等しいという結論になると思っている。ところで、この論過は、等しい大きさのものが自分と等しい大きさのものの傍を等しい速さで移動するさいには、後者が運動していても、静止していても、要する時間は等しいと考えているところにある。しかし、これは偽りである[5]

「例えば」として、アリストテレスが以下に続ける文章は、解釈を加えたうえで、補わなければ意味が通らない[6]。「列ΑΑ」と2物塊(或いは線分)で説明されているが、ここでは3ブロックに変え、事態を表す[7]

第一図 :競技場、:右方向へ移動するブロック列RQP、Γ:左方向へ移動するブロック列XYZとして、初期状態は、ΒΓの先頭PとXがΑの中間ブロックに並ぶ。

: ▲▲▲

:RQP

Γ:  XYZ

第二図 BΓそれぞれが移動を開始し、次のように、Βの先頭Pがの右端に、Γの先頭XがΑの左端に並んだとする。

: ▲▲▲

: RQP

Γ: XYZ

このとき、Γそれぞれは、に対しては1ブロック分しか移動していないが、互いには2ブロック分移動している。この事態をゼノンは次のように説明している、とアリストテレスは言う。

Γの傍らを2ブロック分移動したのに対し、の傍らを1ブロック分しか移動していない。したがって、の要した時間は、Γの半分である。しかるに、Γは共にの終端に達しているのだから、の要した時間は、Γの要した時間に等しいはずである。すなわち、半分の時間はその二倍の時間に等しい、ということになる。

諸種の解釈[編集]

アリストテレスは、図式的に示すことで、相対的には倍速になることは自明であるとしている。では、ゼノンは相対速度を知らなかったのか。どう見るかで、解釈は分かれる。

  • (1)アリストテレスの言そのままに、相対的な速度を知らず、一事象に二つの時間がある矛盾、との説をゼノンのものであると解する。あるいは、その説は、時間を等しいとするならば、の傍らを通過する距離が、Γの傍らを通過する距離に等しい、すなわち距離1=距離2という矛盾になる、とも受け止めうる。
  • (2)アリストテレスは伝えていないが、2分割と同様の議論を含めていたとの見方もある[8]

以上とは異なり、原子論的見解に対する論難であるとする解釈も多くなされる。ゼノンが上記の説明図を基に論じたとして、時間・空間が不可分割な単位を持つとする見解は、次の様なパラドックスをもたらす、と解する。

  • (3)1ブロック分の移動に1最小単位時間を要するとするなら、は、に対し1単位時間、Γに対し2単位時間を要することになり、1単位時間=2単位時間という矛盾である。あるいは、時間を等しいとすると、に対する距離(ブロック数1)とΓに対する距離(ブロック数2)とが等しいことになる。

上図に現れない次の第三図のケースを問題としていたとする解釈もある[9]。下図の位置に関して、論理的には二種の解釈がありうる。

  • (4)時間が、不可分な最小単位時間から成るとし、第一図から第二図へが1最小単位時間の移動であるとするなら、第三図に於ける
    •  PとYあるいはQとXが並ぶ瞬間▽は存在しない、ということになる(相対運動に於ける時間の不連続性を容認)。
    •  あるいは、在るとするなら、最小単位時間に挟まれる瞬間▽がなければならず、不可分の最小単位時間と矛盾する。
  • (5)距離(延長)が、不可分な最小単位から成るとし、第一図から第二図へが1最小単位距離の移動であるとするなら、第三図に於ける
    •  PとYあるいはQとXが並ぶ地点▽が存在しない、ということになる(相対運動に於ける空間の不連続性を容認)。
    •  あるいは、在るとするなら、分割点▽が存在しなければならず、不可分な最小単位距離と矛盾する。

第三図 Αの3ブロック▲の間▽に、のブロックQとΓのブロックXが並ぶ、あるいはのブロックPとΓのブロックYが並ぶ

: ▲▽▲▽▲

:R Q P

Γ:  X Y Z

数学的な解釈[編集]

ゼノンの指摘は運動を位置関係で捉えているが、後世の数学はそれらを時間と距離との関係として捉え返す。以下は、1次元実数空間上の運動であると仮定する。

二分法[編集]

異なる二点に中点が存在することだけで、目的点に着かないと論ぜられている。数学的にみるなら、運動としての条件が不足している。加えられる仮定によっていくつかの事例が生まれ得る。

前進型解釈

時間項を入れ、運動速度を勘案すると、二種類の事例がみられる。

  • 目的点に着かない例、減速運動で、半分の点に着くと速度も半分になるとする。次の半分の半分の点に着くと更に速度も半分と、次々と減速していく運動であるとする。各々の過程は直前の半分の距離を半分の速度で運動するのだから、各過程の経過時間は同一になる。したがってその積算は、無限大に発散する。よって、決して静止しないにも拘わらず、到着には無限の時間が必要となる。
アリストテレスは、「有限な線距離を無限な時間において運動することは不可能である、」[10]と断定しており、この事例には考えが及ばず、それはアキレスの件の考察にも関わる。
  • 目的点に着く例、運動が等速度とするならば、半分、更に残りの半分の半分と進行していく各過程の経過時間の積算は、コーシー列となる。よって積算は上限を持ち、到着すると言いうる。

アキレスと亀[編集]

二つの条件(亀がアキレスの前からスタートする、亀はアキレスより遅い)の下において、追付くか否かが問題とされている。純粋に数学的に見れば、この条件下では、それは定まらない。ゼノン式に捉えたとしてもそれは同じである。従って、ゼノンの誤りは、何れとも決せられないことであるのに、一方を断じていることである。そのことは、アリストテレスを始めとする、ゼノン式の捉え方そのものが問題を孕むのだとする論議は、追付かないケースもある事を見ていない限りにおいて、何処かに問題を孕んでいる可能性があることを示唆している。

  • 追付かない事例は、亀がアキレスより遅い事を維持しつつ、両者の速度差が急速に縮まる設定にすれば、亀に追いつくまでのゼノン式捉え方での時間の積算が発散する事例を作ることが出来る。この事例は、古代ギリシャ時代の数学では困難であったかも知れない。
  • 追付く事例も無数に作りうる。例えば、両者がそれぞれ等速度で動くと仮定すると、亀に追いつくまでの時間のゼノン式捉え方での各過程の経過時間の積算はコーシー列となる。よって上限を持ち、追付くと言いうる。この仮定の下での計算例を、以下参考に示す。
アキレスの走行速度を v m/s、亀の歩行速度を rv m/s とし、亀はアキレスより L m 前方にいるとする。亀の歩行速度はアキレスの走行速度よりも小さいので、0 < r < 1 である。両者が同時にスタートして、アキレスが亀の出発点まで到達する時間は (L/v) s である。その時亀はアキレスより rv × L/v = rL m 前方にいる。そしてアキレスがその位置まで到達するのはさらに (rL/v) s 後であり、その時亀はさらに r2L m 前方にいる。以下同様にそれを繰り返していくと、アキレスが亀の位置まで到達する時間の合計は
となる。つまり、項が無限に続き、「常にいくらかずつ先んじて」いるかに見える。
これは初項 L/v, 公比 r等比数列で、n + 1 項までの部分和(=各経過時間の積算)は
となる。ここで n → ∞ とすると、0 < r < 1 であるので、rn+1 → 0 となる。つまり無限級数
(=各経過時間の積算の上限)となる。このように級数の収束の問題に還元される。
なお、最後の計算結果は、「アキレスが t 秒後に追いつく」として立てられる1次方程式
の解と一致している。

飛んでいる矢は止まっている[編集]

アリストテレスは、時間が「不可分割的な今から成るのではない」[11]としてゼノンを否定する一方、「今においては運動も静止もありえない」[12]として、疑似的な論議と見ている風もある。数学的に見れば、瞬間においては運動も静止もないと見ることも可能であるが、同時に、運動方程式は瞬間における速度を示し得るのであって、言葉の定義の問題に過ぎない。しかし、前者の否定は成り立たない。時間が瞬間より成るとしても、運動は否定され得ない。時間が連続体であれば、時間が瞬間=点よりなり、矢が瞬間=点においては静止しているとしたとしても、動くことは出来る。近代解析学においては、ゼノンの結論は否定されるが、アリストテレスの論議も否定される。

哲学的な観点から[編集]

哲学的には、数学的な前提に立った場合のように、このパラドックスは「間違っている」とは見なされない。アリストテレスは無限を「可能的無限」と「現実的無限」に分けたが、哲学的には現実的無限は不可能とされる。しかしゼノンの論法が正しければ運動が現実的無限を実現している可能性があるからである。したがって哲学的にはゼノンの論法が可能的無限を示唆するに過ぎないことを論証することが必要となる[13]

また極限や収束をどう理解するかと、特に「仮に有限を無限の回数の加算の結果と『見なしうる』ということから、現にそうした無限個の『加算されたもの』から『構成されている』と言っていいかどうか」が、このパラドックスでは問題になる。これはジョージ・バークリーが『人知原理論』でニュートン力学批判として指摘した。

つまり確かにパラドックスの結論は不合理なもののように見えるが、それは「不連続な複数の単位から構成される連続という(原子論者の考えたような『多』の)立場を前提にすると不条理に陥る、ゆえにこの『多』という仮定が間違っており、連続は『一』が基底的な属性であって、より基底的な『多』から「一」が構成されているとはいえない」という背理法の論法なのである。

それが「無限に切り分けられる」ことと「無限に足し合わせられたものからなっている」ことは、一見同じことのように見えるが違う。そして現実の運動や連続について、前者は言えるが、後者はいえない。

「線を無限に分割して、無限にたくさんの点を見い出せる」ことから「線が無限にたくさんの点からなっている」とは言えない。ゼノンやエレア派的にいえば、無をいくら足しても有にはならない。有がある以上、どこかに有の起源が無ければならない。長さゼロの点から長さ一の線を作る事は出来ない。ゼロをいくら加算しても一にはならない。しかし線と線の交点として点を定義する事は出来る。

これは不動の矢のパラドックスにおいてより根本的に現れており、いわゆるこの動かない動く矢は、あくまでも運動の或る瞬間の概念的切片であって、現実に特定の瞬間に特定の位置を占めているそうした要素的断片が実在的に「存在」し、その加算として運動があるわけではない。連続がまずあって、それを切片に切って把握することができるのであって、要素的な断片がまずあって、それが合わさって連続が構成されているのではない。(ピュタゴラス派的「数字」や「点」の議論)運動という連続は「多」からなっているわけではない。

さらにいえば「パラパラマンガやアニメのようなものとして、現実の連続性を理解することはできない」ことが、このパラドックスの、そしてエレア派の問題にしていることなのである。

もっとも、上記の議論では点の大きさが0であることを前提にしている。確かに、ユークリッド原論の公理でも「位置をもち、部分を持たないものである」と定義されている。

だが、点が無限小の大きさを持つとすれば、それを無限に足し合わせることで有限の大きさは作れる。第2節の「数学的な解釈」で出てくる無限級数に近い概念の積分(及び、微分)は、この無限小という概念を基にしている。無限大と同様、元々はきちんと定義されていない直感的な概念で、いろいろ誤った推論を導いたため、一旦はイプシロン-デルタ論法によって追放された。だが、超準解析において、無限小・無限大とも厳密に数学的に定義・定式化されている。したがってジョージ・バークリーが指摘した微積分の定義上の曖昧さついては現代では解消されたと考えることが可能である。

不動の矢のパラドックスも同様に考えることが可能である。つまり、超準解析の立場からすると、「時空をT=tで厚み0にスライスしたら」という発想に実は誤りが潜んでいる。実際にはT=tの周囲に若干の(無限小の)幅があり、無限小とはいえ時間の経過があるので、矢に速さは定義できるということである。

物理的な観点から[編集]

ちなみに、物理学においては長らく量子力学一般相対性理論の矛盾が問題となっていた。無限大の確率などの数学的矛盾が出てくるのだが、その根本原因は電子などの大きさを0として扱うモデルにあったことがわかっている。大きさ0ではなくて、一定の長さのひもからできていることを基本発想とした超ひも理論が、量子力学と一般相対性理論の矛盾を克服し、自然界の4つの力(強い力電磁気力弱い力重力)を統合する最有力候補となっていることは参考になるだろう。

なお、超ひも理論で主張されているように時空が量子化されている(時空が不連続)のであれば、無限小の概念は成立せず、時空は「パラパラマンガやアニメのようなもの」ということになる。[14]また、「飛ぶ(量子力学的)粒子は不動」という主張も正しいことになる(あくまでその時空ピースにおいては。実際には次の時空ピースに移動・ジャンプしていくので、速度(運動量)0という状態はあり得ないという不確定性原理の要請とは矛盾しない。「飛ぶ」だと古典物理学(ニュートン力学)の対象であり、量子力学的考察は無意味)。

また、「アキレスと亀」ならぬ、量子力学的A粒子とT粒子なら、「駆けっこで追いつけない」という描像がそもそも不適切である。なぜなら、量子力学的粒子の運動は不連続であり、A粒子が次の瞬間にT粒子のはるか先に現れる(追い抜いてしまっている)確率も(一般には)0ではないからである。

アキレスと亀の平易な解決[編集]

「アキレスと亀」は、以下のような補足文を添えれば、全く問題のない文章になる。

追い着く時刻が来るまでは、走ることの最も遅いものですら最も速いものによって決して追い着かれないであろう。なぜなら、追うものは、追い着く以前に、逃げるものが走りはじめた点に着かなければならず、したがって、より遅いものは常にいくらかずつ先んじていなければならないからである。」

実際、追い着くケースでも追い着かないケースでも、「亀が過去にいた地点にアキレスが到達する時点」を無数に見出し得るのは、追い着つかない内に限られる。上記の文章の内容が成り立つのも、追い着かない内に限られるのであって、実際に追い着くかどうかについては、何も語っていないのである。我々は思考の中で、アキレスが亀に追い着くまでの間に、無数の時点を見出すことが出来るが、その作業が終わらない内に勝手にアキレスが亀に追い着いてしまうことは決してないのである[15]

思想史[編集]

アリストテレスは「無限にあるものが現勢的でなく可能的にあるのだとすれば、それらを通過し尽くすことは可能である」としている。

レオナルド・ダ・ヴィンチは、「点とはありうるかぎりのものよりさらに小さいものであり、線はその点の運動によって作られる。線の極限は点である。次に面は線の運動から生れ、そしてその極限は線である。立体は(面積の)運動によって作られる。(そしてその極限は面である)(「手記」)」と語っている。

バールーフ・デ・スピノザは「持続が瞬間から成るとの主張は、悟性によって把握される不可分な無限の量、表象能力によって把握される可分的な有限の量の両者が区別されないことに基づく」と指摘している。

ゲオルク・ヴィルヘルム・フリードリヒ・ヘーゲルはゼノンの議論を認めた上で、そこから帰結するのは、運動が存在しないということでなく、運動は定有する矛盾であるということであるとしている。

アンリ・ベルクソンは、ゼノンの議論は時間や運動を空間に翻訳するものとした上で、運動そのものは持続であって分割不能であるとしている。

その他[編集]

量子力学において、ある確率で放射性崩壊を起こすはずの不安定な原子核が、完全に連続した観測の下では崩壊を起こさないことを(ゼノンの議論と直接の関係はないものの)量子ゼノンパラドックスと呼んでいる。また、実際に、非常に短いスパンで観測を行うと、原子核が本来予測されるよりも低い確率で崩壊することが実験で確かめられている。これは量子ゼノン効果と呼ばれる。

脚注[編集]

  1. ^ a b c アリストテレス全集3『自然学』第6巻第9章239b10-240a19、訳・出 隆、岩崎 允胤、岩波書店刊: ISBN-13: 978-4000912839
  2. ^ 山川偉也『ゼノン4つの逆理』第3章p89より。前進型・後退型も同書による。講談社刊:ISBN: 4-06-206400-6
  3. ^ イリアスにおいてアキレスの枕詞の一つは「駿足の」である
  4. ^ ディオゲネス・ラエルティオス 『ギリシア哲学者列伝(下)』 加来彰俊訳、岩波書店、1994年、110, 117。ISBN 4-00-336633-6
  5. ^ 『自然学』第6巻第9章 239b33
  6. ^ 『自然学』第6巻第9章訳者注
  7. ^ Stanford Encyclopedia of Philosophy, 'Zeno's Paradoxes', 3.4 The Stadium
  8. ^ 山川偉也『ゼノン4つの逆理』第1章37頁
  9. ^ Bertrand Russell, 'Our Knowledge of the External World'『外部世界はいかにして知られうるか』, VI: "The Problem of Infinity considered Historically"ほか多数ある。
  10. ^ 『自然学』第6巻第7章237b24
  11. ^ 『自然学』第6巻第9章239b9
  12. ^ 『自然学』第6巻第8章239b2
  13. ^ 参考文献:野矢茂樹『無限論の教室』、『他者の声 実在の声』
  14. ^ シュレーディンガー方程式はx,y,z,tで微分可能という前提でできており、時空を連続的と見なしている
  15. ^ 林晋 『パラドックス!』 日本評論社2000年ISBN 4-5357-8319-5

参考文献[編集]

中村秀吉(1980)『時間のパラドックス』(中公新書

関連項目[編集]

外部リンク[編集]