床屋のパラドックス

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

床屋のパラドックス(とこやのパラドックス)は、数理論理学集合論における重要なパラドックスである。

概要[編集]

自分の髭は…

このパラドックスは、次のようなものである。

  • 規則:ある村でたった一人の床屋(男性とする。)は、自分で髭を剃らない人全員の髭を剃り、自分で髭を剃る人の髭は剃らない。
  • 問題:床屋自身の髭は誰が剃るのか?
  1. 床屋が自分の髭を剃らなければ、彼は「自分で髭を剃らない人」に属するので、床屋は自分自身の髭を自分で剃らなくてはいけなくなり、矛盾が生じる。
  2. 床屋が自分の髭を剃るならば、彼は「自分で髭を剃る人」に属するので、自分で髭を剃る人の髭を剃らないという規則に矛盾する。

したがって、どちらにしても矛盾が生ずる。

述語論理による表現[編集]

∃x∀y(P(x,y)⇔¬P(y,y)) (あるxが存在し、任意のyに対して P(x,y)はP(y,y)でないときその時に限る)

上記の論理式について、存在するとされるxを具体的な定項aに置き直せる。またyは任意であるのでaであってもよい。その場合

P(a,a)⇔¬P(a,a)

となるので矛盾する(対角線論法)。

P(a,b)を「aがbの髭を剃る」とすれば床屋のパラドックスとなる。 P(a,b)を「aがbを要素とする」とすればラッセルのパラドックスとなる。

その他[編集]

このパラドックスはイギリスの論理学者バートランド・ラッセルにより考案されたラッセルのパラドックスを分かり易くした例である。このパラドックスはさらにゲーデルの不完全性定理チューリングマシン停止問題とも関連している。

このパラドックスはしばしば、ジョークに転用される。その際の落ちは「その床屋は女性だった」というもの。その際には床屋の性別を明示せず、「ある村でたった一人の床屋は…」と始まる。

ただし「自分で顔を剃らない人全員の顔を剃るたった一人の床屋は…」とすれば、顔の産毛などを剃る行為も含まれるから、性別によるジョークは成り立たない。

また、有名ななぞなぞに「村には床屋が二人しかいない。一人の髪はぼさぼさで、もう一人の髪は整っている。どちらに散髪を頼むべきか?」というものがある。

普通に考えると髪の整っている人に頼みたくなる。しかし、村に床屋が二人しかいないということはこの二人はお互いに散髪し合っているのである。したがって、髪の整っている床屋に頼むとぼさぼさの髪にされてしまい、髪がぼさぼさの床屋に頼むときれいに散髪してくれる、というものである。