電磁気の単位

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電磁気の単位(でんじきのたんい)を単位系に組み込もうとするとき、電磁気に関係する物理量は、長さ質量時間だけでは表すことができないため、もうひとつ別の物理量を単位系に加える必要があるように思える。現在、単位系の国際標準となっている国際単位系 (SI) では、事実そうしている。しかし実際には、他にも方法がある。

電磁気学の方程式系[編集]

電磁気学の方程式は、単位系によってさまざまに異なる形に書かれる。そこで係数を含む形で単位系によらずに成立する量方程式を示し、各単位系でそれがどのように変化するかを示す。

まず、電磁気的な力を与えるローレンツ力

\boldsymbol{f} =q (\boldsymbol{E} +\gamma^{-1} \boldsymbol{v}\times \boldsymbol{B})

となる。

次にマクスウェルの方程式

\nabla\cdot \boldsymbol{D} =\alpha \rho

\gamma\nabla\times \boldsymbol{H} -\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}=\alpha\boldsymbol{j}

\nabla\cdot \boldsymbol{B} =\alpha \rho_\text{m}

\gamma\nabla\times \boldsymbol{E} +\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}=\alpha\boldsymbol{j}_\text{m}

となる。後で磁荷について論ずるため、磁荷密度 ρm を含む形で書いている。

最後に DEHB を関係付ける構成方程式は

\boldsymbol{D} =\epsilon_0 \boldsymbol{E} +\alpha \boldsymbol{P}

\boldsymbol{H} =\boldsymbol{B}/\mu_0 -\alpha \boldsymbol{M}

となる。

マクスウェルの方程式から連続の方程式

\nabla\cdot \boldsymbol{j} +\frac{\partial\rho}{\partial t}=0

が導かれる。また、真空における光速度が

c^2 =\frac{\gamma^2}{\mu_0\epsilon_0}

と表される。静電場、静磁場においてはクーロンの法則

\boldsymbol{E} = \frac{\alpha}{4\pi\epsilon_0} \frac{q \boldsymbol{r}}{r^3}

\boldsymbol{H} = \frac{\alpha}{4\pi\mu_0} \frac{q_\text{m} \boldsymbol{r}}{r^3}

が導かれる。定常電流に対してはビオ・サバールの法則

\boldsymbol{B} =\frac{\alpha\mu_0}{4\pi\gamma}\int \frac{I\, d\boldsymbol{l}\times \boldsymbol{r}} {r^2}

が導かれる。

単位系の分類[編集]

マクスウェルの方程式は2つの係数 α, γ を含んでいる。 係数 α は有理化の係数で、単位系が有理系のときには α=1 であり、非有理系においては α=4π である。 係数 γ は対称化定数、連結因子と呼ばれる係数で、γ=c と選べば電気的な場と磁気的な場が同じ次元となる。 構成方程式に含まれる ε0, μ0 はそれぞれ電気定数磁気定数と呼ばれる。これらは光速度と関係付けられており独立ではない。これらの一方に新たな単位を与えることで、電磁気学の単位系は4元系となる。

単位系 力学単位 有理化 対称化 次元 α γ ε0 μ0 基本単位
CGS電磁単位系
(CGS-emu)
CGS単位系 非有理 非対称 3 1 1/c2 1 cm, g, s
CGS静電単位系
(CGS-esu)
非有理 非対称 3 1 1 1/c2 cm, g, s
CGSガウス単位系 非有理 対称 3 c 1 1 cm, g, s
ヘヴィサイド単位系 有理 対称 3 1 c 1 1 cm, g, s
一般化電磁単位系 非有理 非対称 4 1 1/μ0c2 1 dyn/Bi2 cm, g, s, Bi
一般化静電単位系 非有理 非対称 4 1 1 Fr2/erg·m 1/ε0c2 cm, g, s, Fr
MKSA単位系 MKS単位系 有理 非対称 4 1 1 1/μ0c2 ×10−7 H/m m, kg, s, A
MKSC単位系 m, kg, s, C
MKSΩ単位系 m, kg, s, Ω
MKSP単位系 有理 対称 3 1 c 1 1 m, kg, s
実用単位系 非有理 非対称 3 1 1/c2 1 109 cm, 10−11 g, s

なお、これらの係数の置き方は必然ではなく、置き方が違っても同様に話を進めることができる。ここでは岡部洋一に倣った(外部リンク参照)。

力学単位[編集]

力学的な量の基本単位をMKS単位系とするかCGS単位系とするかの違いである。単位の大きさにしか影響せず、式の形などは変化しない。

有理化[編集]

有理化の係数 α は、有理系(rationalized system)においては α=1 をとり、非有理系(non-rationalized system)では α=4π をとる。いずれも無次元量であり、電磁気的な量の次元には影響しない。

歴史的には、クーロンの法則やビオ・サバールの法則がマクスウェル方程式より先に知られていたため、初期の単位系ではこれらの法則の係数 α/4π が消える非有理系だった。後により基本的な関係式であるマクスウェル方程式が確立されたことにより、マクスウェル方程式に現れる係数 を消去する有理化(rationalizarion)が提唱された。無理数である を消すことが「有理化」と呼ばれた由来である。有理系では が完全に消えるわけではなく、非有理系では現れなかったクーロンの法則やビオ・サバールの法則の係数に が現れる。

物理的には、点電荷のもつ電気量が、有理系では周囲に出す全ての電束に等しいと考え、非有理系では1ステラジアンあたりに出す電束に等しいと考える。

対称化[編集]

電磁気学の法則は電気と磁気について式の形は対称的であるが、電気的な量と磁気的な量で次元が一致するとは限らない。 対称化の係数 γ に速度の次元を与えることで、電気的な量と磁気的な量の次元が一致する。 電磁気学における速度の次元をもつ定数は、真空における電磁波の伝播速度、即ち光速度 c である。 電気的な量と磁気的な量の次元を一致させる対称な単位系では γ=c とする。

特殊相対性理論において、電気的な量と磁気的な量が対応付けられるため、理論的な見通しが良くなる。(ただし、特殊相対性理論を扱う場合にしばしば c=1 とする単位系が選ばれる。)

次元[編集]

基本単位が3つか4つかの違いである。3元系の場合、力学の単位系に新たな基本単位を加えることなく、電磁気の単位を生み出す。

たとえばCGS静電単位系では、ε0 = 1(無次元)と置くことで、クーロンの法則から ε0 が消去され F = Qq/r2 となり(α = 4π も代入した)、これに F = 1 dynr = 1 cm、Q = q = 1 esu を代入すれば電荷の単位 esu = dyn1/2cm が導き出される。dyn と cm から組み立てられていることからもわかるとおり、これは基本単位ではなく組立単位である。どの定数をどのような値に置くかにより、さまざまな単位系ができ、単位の大きさだけでなく次元も異なる。

CGS系電磁単位系・静電単位系・ガウス単位系では α, γ, ε0, μ0 の全てが、4π のような数学定数や、1/c2 のような他の物理定数から計算できる量になっており、方程式から消去できる。これらは3元系である。

それらに対し、MKSA単位系は μ0 = 4π×10−7 H/m が独立した物理定数であり、消去できない。そのため、電磁気の単位は力学単位から組み立てられない次元を持つ。余分な物理定数が1つなので、それらの次元は自由度が1つで、基本単位を1つ追加すればいい。なお ε0ε0 = 1/μ0c2 と消去できるので数に入れない。

3元系は理論的な取り扱いには便利で、理論科学や数値実験に好まれる。しかし、自由度が低いため、単位の大きさが非日常的なサイズになりやすく、実験科学や工学には不便である。特に電磁気の単位では、3つの基本単位は力学単位系としてすでに決まっているので、α, γ, ε0, μ0 を決めれば、全ての電磁気の単位が一律に決まってしまう。

それに対し、4元系では自由度が多いので、単位の大きさを調整でき、日常的なサイズに近づけることができる。たとえば、電流の単位を10倍にするには、μ0 の次元は L2 M T−2 I−2 で電流 (I) の指数は-2なので、μ0 の値を 10−2 = 1/100 倍にすればいい。MKSA単位系の μ0 が不思議な値なのは、このような調整をした結果である。

各々の単位系[編集]

国際単位系(SI)では電磁気関連の基本単位として電流を採用しており、電流の流れる物体間に作用するによって定義している。国際単位系(SI)では電荷電流時間として定義される組立単位となる。このような形になるまでには、様々な変遷があった。

電磁気に関する研究が始められ、その単位が作られ出したころ、広く使用されていた単位系はCGS単位系であった。初期の電磁気の単位はCGS単位系の上で構築された。

主要な単位系[編集]

CGS電磁単位系[編集]

CGS電磁単位系 (CGS-emu) は、3元の非対称な非有理系である。最初に構築された電磁気の単位系で、ウェーバーにより作られた。

ウェーバーは、ビオ・サバールの法則が一つも係数を含まなくなるように、距離 1 cm で 1 cm あたり 2 dyn の力を及ぼす電流の大きさを、電流の単位とした。これは、αμ0/4π = μ0 = 1 と置くことに当たる(非有理形なので α = 4π を使った)。

μ0 は力/電流2の次元を持つが、これを無次元量とすることで、電流の次元は力1/2となり、電流の単位はdyn1/2と組み立てられる。これを電磁単位 (electromagnetic unit) と呼び、emuと略す。

さらに電流連続の法則の係数もなくなるよう、γ = 1 と置いて電荷の単位を導いた。これをクーロンの法則に適用し、1 cm の間隔で置かれた単位電荷を持つ物体間に働く力が 1 dyn になるように αμ0/4π = μ0 = 1/c2 とした。

CGS静電単位系[編集]

CGS静電単位系 (CGS-esu) は、3元の非対称な非有理系である。理論的には、CGS電磁単位系を電気と磁気について反転したものである。マクスウェルが提案した。

マクスウェルは、クーロンの法則が一つも係数を含まなくなるように、つまり、αε0/4π = ε0 = 1 とし、1 dyn の力を及ぼしあう電荷の大きさを電荷の単位とした。電荷の単位はdyn1/2と組み立てられ、これを静電単位 (electrostatic unit) と呼び、esu と略す。

CGS電磁単位系と同様に電流連続の法則の係数を γ = 1 として電流の単位を導いた。これをビオ・サバールの法則に適用し、1 cm の間隔で流れる単位電流の間に働く力が 1 dyn となるように αε0/4π = ε0 = 1/c2 とした。

CGSガウス単位系[編集]

CGSガウス単位系 (ガウス単位系) は、3元の対称な非有理系である。磁気に関する単位には電磁単位系、電気に関する単位には静電単位系を用いる。ヘルムホルツヘルツが提唱した。

この結果 ε0 = μ0 = 1 となる。また、\gamma = c \sqrt { \varepsilon_0 \mu_0 } により、γ = c となる。

この単位系は、電場と磁場の方程式が対称になり、理論的な見通しが良いという特長があるため、現在でも理論物理学や天文学などで用いられることがある。

ヘヴィサイド・ローレンツ単位系[編集]

ヘヴィサイド・ローレンツ単位系(ヘヴィサイド単位系)は、3元の対称な有理系である。ヘヴィサイドが1883年に提唱し、ヘンドリック・ローレンツが再編成したCGS単位系で、ガウス単位系を有理化したものである

ヘヴィサイドはそれまでの単位系が暗黙のうちに α = 4π としていたのを α = 1 とし、電磁気量と力学量との関係を表す関係式の分母に 4π を入れることで、マクスウェル方程式に 4π が表れないようにし、これを有理化と呼んだ。有理化によりマクスウェル方程式などは簡単な形式で記述されるようになったが、その代償として従来の単位系との換算の際に\sqrt{4\pi}が大量に表れた。単位の換算が頻繁に必要となる実験科学者や技術者にとっては、実用的な単位系ではなかった。しかし理論家にとっては単位の大きさは重要ではないので、希に使われることがある。

実用単位系[編集]

実用単位系 (practical units) もしくはBA単位系 (British Association units) は、電磁単位系を元としながら電磁気の単位を10の倍し実用的な大きさとした単位系である。定数の置き方は電磁単位系と同じである。

アンペア (A)、ボルト (V) など、現在も使われる電磁気の単位の多くは、元は実用単位である(一部はさらに古い歴史を持つ)。

実用単位系は電磁気の単位のみを持ち、力学の単位を持たないが、理論から逆算すれば 109 cm、10−11 g、秒を基本単位としていることになる(あくまで計算上のことであり、そのような単位が使われたわけではない)。

MKSA単位系[編集]

MKSA単位系は、4元の非対称な有理系である。また、これまでの単位系と異なり、MKS単位系を拡張したものである。

工業の発展により、それまでのCGS単位系の基本単位は小さすぎたことから、より実用的な単位系としてMKS単位系への移行が行われるようになった。これにあわせて、電磁気の単位もMKS単位系を基本としたものに移行する必要が出てきた。電気工学でも、実用単位が広まった。

ジョヴァンニ・ジョルジは、電流の実用単位アンペアをもう1つの基本単位とする4元系を提唱した。このことにより、これまで物理定数として意識されていなかった ε0μ0 が、物理定数として意味のある量を持つようになった。

さらに同時に、力学単位をMKS単位系に変更し、有理化を採用した。この3つの変更により、ε0 = 107/4π(c·s/m)2 F/m(c·s/m は、光速を単位 m/s で割って無次元の数値にしたもの)、μ0 = 4π×10−7 H/m となった。ヘヴィサイド単位系のように有理化で\sqrt{4\pi}が大量に表れる弊害を避けるために、4πε0μ0 に含められた(3元系ではこの解決法はできない)。

国際単位系(SI)は、電磁気に関してはMKSA単位系を採用している。

マイナーな単位系[編集]

一般化CGS単位系[編集]

3元のCGS電磁単位系・静電単位系を、形式的に、MKSA単位系のような4元系に修正した単位系である。MKSA単位系への移行の際の過渡的措置として、1961年国際純粋・応用物理学連合 (IUPAP) の国際記号単位述語委員会 (SUN委員会) が導入した。

一般化CGS電磁単位系は、電流の単位 emu にビオ (Bi) という名称を与え、基本単位とする。これにより、μ0 は無次元量の1ではなく、次元を持つ 1 dyn/Bi2 となる。

一般化CGS静電単位系は、電荷の単位としての esu をフランクリン (Fr) と呼び基本単位とする。これにより、ε0 は無次元量の1ではなく、次元を持つ 1 Fr2/erg·cm となる。ただし、この基本単位の名称フランクリンは、(一般化電磁単位系のビオと異なり)従来からあった名称である。

ただしこれらの変更では単位の大きさは変わらず、基本単位からの組み立てのみが変わる。

MKSC単位系・MKSΩ単位系[編集]

MKSA単位系と同様の4元系だが、第4の基本単位としてアンペア (A) の代わりにクーロン (C) やオーム (Ω) を使った単位系である。実用上はMKSA単位系とまったく同じで、単位の定義のしかたが違うだけである。

MKSP単位系[編集]

MKSP単位系は、ヘヴィサイド単位系のような、3元の対称な有理系である。ただし、力学単位系としてMKS単位系を採用している。鈴木範人小塩高文による。

ヘヴィサイド単位系と同様に理論計算が簡便で、しかしヘヴィサイド単位系と異なり力学単位はSIと同じで比較的相性がいいので、数値実験に使われることがある。

単位名称[編集]

CGS電磁単位系・静電単位系・ガウス単位系は、3元系なので理論上は力学単位から全ての単位を組み立てられるが、電磁単位系での電流の単位が dyn1/2 になるなど指数半整数が表れる問題があるので、そのような表現はされなかった。

電磁単位系の電流の単位は電磁単位 (emu)、静電単位系の電荷の単位は静電単位 (esu) と呼ばれた。これらはガウス単位系でも使うことができる。また、3元系の特徴としていくつかの物理量の次元が同じになり、たとえば磁束も emu で表せた。

MKSA単位系の元となった実用単位は、当初より単位名称と共に考案された。電圧ボルト (V)、電流のアンペア (A)、電荷のクーロン (C) などがそうである。ただし電気抵抗オーム (Ω) は、実用単位以前から存在した単位と名称である。

実用単位との比較の問題から、実用単位の名称に接頭辞アブ (ab; absoluteの略) を付けて、元となった電磁単位を表すようになった。たとえば、電磁単位系の電流の単位 (emu) はアブアンペア (abA) となる。静電単位系でもこれに倣ってスタット(stat; staticの略)をつけて表すこともある。たとえば、静電単位系の電荷の単位 (esu) はスタットクーロン (statC) となる。

いくつかのガウス単位系の単位には、固有の名称が与えられた。

フランクリン以外は磁気系の単位、つまり、電磁単位系と共通の単位である。

一般化電磁単位系では、電流の単位を新しくビオ (Bi) と名づけた(これはガウス単位系でない唯一の単位名称となった)。

MKSA単位系(および国際単位系)では、実用単位の名称がそのまま使われる。

換算[編集]

各単位系を相互に変換するには、簡単な計算で求められる係数を乗算すればよい。なお、CGS単位系の基本単位となる物理量や、国際単位系(SI)の基本単位となる電流(アンペア)は、その定義通りの実験が困難であるため、より高い精度の別の実験から間接的に求められている。

CGSガウス単位系の単位を1とした場合、各単位系の単位の換算は以下のようになる。ただし、c光速そのものではなく、光速を cm/s で表した場合の数値 c = 2.99792458×1010(単位なし)とする。

  電流 磁束 電荷 電圧
CGS電磁単位系 1 1 1/c c
CGS静電単位系 c 1/c 1 1
CGSガウス単位系 1 1 1 1
ヘヴィサイド単位系 \sqrt{4\pi} 1/\sqrt{4\pi} \sqrt{4\pi} 1/\sqrt{4\pi}
MKSA単位系 10 10-8 10/c 10-8c
MKSA/SI 物理量 emu esu/gauss MKSA/SI 物理量 emu/gauss esu
アンペア (A) 電流 I 10−1 Bi 10−1c ボルト (V) - - - -
ボルト (V) 起電力電位 V 108 108/c アンペア (A) 起磁力磁位 Fm 10−1×4π Gb 10−1×4πc
オーム (Ω) 電気抵抗 R 109 109/c2 ジーメンス (S) - - - -
クーロン (C) 電荷 Q 10−1 10−1c Fr ウェーバ (Wb) 磁荷 Qm 108/4π 108/4πc
電束 ψ 10−1×4π 10−1×4πc 磁束 Φ 108 Mx 108/c
ファラド (F) 静電容量 C 10−9 10−9c2 ヘンリー (H) インダクタンス L 109 109/c2
V/m 電場 E 106 106/c A/m 磁場 H 10−3×4π Oe 10−3×4πc
- - - - 磁化 M 10−3 10−3/c
C/m2 電束密度 D 10−5×4π 10−5×4πc テスラ (T) 磁束密度 B 104 G 104/c
電気分極 P 10−5 10−5×c 磁気分極 Pm 104/4π 104/4πc
F/m 誘電率 ε 10−11×4π 10−11×4πc2 H/m 透磁率 μ 107/4π 107/4πc2
表の見方

外部リンク[編集]