電場

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電磁気学
VFPt Solenoid correct2.svg


電気 · 磁性
電場
Electric field
量記号 E
次元 M L T −3 I −1
種類 ベクトル
SI単位 V/m
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電場(でんば)または電界(でんかい)(英語: Electric field)は、電荷に力を及ぼす空間の性質の一つ。E の文字を使って表されることが多い。おもに理学系では「電場」、工学系では「電界」ということが多い。また、電束密度と明確に区別するために「電場の強さ」ともいう。時間によって変化しない電場を静電場(せいでんば)または静電界(せいでんかい)とよぶ。

定義[編集]

空間のある点に, 正の単位電荷量をもつ電荷(それを試験電荷という)を静止させて置いたとき、その電荷に生じるであろう電磁気的な力を、その点における電場と定義する。

電磁気的な力は電荷量に比例することが実験により知られている。したがって、 位置 r に於いて電荷量 q の電荷に働く力を F とすると定義により以下の式が成り立つ。

\boldsymbol{F} = q \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})

なお、電磁ポテンシャルを用いれば以下のように表す事ができる。

\boldsymbol{E}=-\mathrm{grad} \phi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}

(φ:スカラーポテンシャルA:ベクトルポテンシャル

電場の定義に用いる試験電荷は, 周囲の電荷を移動させないと考える。

巨視的な大きさをもち周囲の誘電体を押しのけるような荷電物体が受ける力は、誘電体内の電場ではなく電束密度によって決まる。

電場の満たすべき方程式[編集]

クーロンの法則[編集]

空間上の位置 r0電荷 Q を置く。さらに位置 r に 電荷 q を置いた時、電荷 q が電荷 Q から受ける力は,

\boldsymbol{F} = \frac{q Q}{4 \pi \varepsilon_0}
 \frac{\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0}{ | \boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0 | ^3}

となる。これをクーロンの法則という。ここで、\varepsilon_0は真空の誘電率である. これに電場の定義をあわせて考えると,

\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0}
 \frac{\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0}{ | \boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0 | ^3}

となる。これは電荷 Q が作る電場である。

マクスウェル方程式[編集]

電場はベクトル場であるので、場の発散と場の回転によって決まる。

電場の発散は

\mathrm{div} \boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

となる。ρ電荷密度である。これはマクスウェル方程式の一つであるガウスの法則である。

電場の回転は

\mathrm{rot} \boldsymbol{E} = -\frac{\part \boldsymbol{B}}{\part t}

これはマクスウェル方程式の一つであるファラデーの法則である。

電場のエネルギー[編集]

原点中心で球殻に電荷qを持つ半径r0の微小と、中心から無限遠まで延びる円錐を仮定し、この円錐を半径rの球面で切断した面積をS(r)とする。微小球と円錐が交わる微小面の面積をS0、微小球の電荷面密度をσとすると、ガウスの法則より

\varepsilon E(r)S(r)=const=\sigma S_0

である。

ここで、この微小面上の電荷σS0を無限遠からこの微小球上に運ぶのに要する仕事-\sigma S_0\int_{r_0}^{\infty}E(r)drであるが、先の結果より

-\sigma S_0\int_{r_0}^{\infty}E(r)dr=-\int_{r_0}^{\infty}\varepsilon\{E(r)\}^2S(r)dr=-\int\varepsilon\{E(r)\}^2dV

である。

これを全球面上で積分すれば、微小球上の電荷qを無限遠から微小球までに運ぶのに要する仕事、つまりこの微小球上の電荷によって生じるポテンシャルU=\int\varepsilon E^2dVを求めることができる。u=\varepsilon E^2とおくと、U=\int udvなので、これは電荷によって生じた電場がu=\varepsilon E^2エネルギー密度エネルギーを蓄えていると解釈できる。

これは実際に、蓄電したキャパシタの二枚の導体間の体積と、キャパシタに蓄えられたエネルギーを比較することで検証することができる。

関連項目[編集]