キルヒホッフの法則 (電気回路)

キルヒホッフの法則（キルヒホッフのほうそく、独: Kirchhoffsches Strahlungsgesetz）は、電気回路において任意の節点に流れ込む電流の総和、および任意の閉路の電圧の総和に関する法則である。線型回路、非線型回路を問わず成り立つ。電気工学で広く用いられる。ドイツの1845年物理学者グスタフ・キルヒホフが発見した。

キルヒホッフの法則には電流則と電圧則がある。両法則ともマクスウェルの方程式から直接得ることはできるが、キルヒホッフはマクスウェルに先行して、代わりにゲオルク・オームによる研究を一般化した。

電流則（キルヒホッフの第一法則）

キルヒホッフの第一法則の例　中心の点に流れ込む電流$i_{1}$と$i_{2}$の総和が、流れ出る電流$i_{3}$と$i_{4}$の総和に等しくなる、という法則のこと。電流保存の法則とも呼ばれる。

電気回路の任意の節点において、流れ込む向きを正（又は負）と統一するとき、各線の電流 I_iの総和は0となる。

$\sum _{i=1}^{N}I_{i}=0$

節点（ノード）法則、KCL (Kirchhoff's Current Law) ということもある。

「流れ込む電流と流れ出す電流の和は0である」と「流れ込む電流の和と流れ出る電流の和の大きさは等しい」は符号を統一するかしないかの違いであり両者は等価である。

電圧則（キルヒホッフの第二法則）

電気回路に任意の閉路をとり電圧の向きを一方向に取ったとき、閉路に沿った各素子の電圧 V_i の総和は 0 である。

$\sum _{i=1}^{N}V_{i}=0$

閉路（ループ）法則、KVL (Kirchhoff's Voltage Law) ということもある。

マクスウェル方程式からの導出

マクスウェル方程式から以上の2法則を導出することができる。電圧則の方は一つの式だけから導出できるのでこちらをまず導出する。電圧則はファラデーの電磁誘導法則すなわち

$\operatorname {rot} {\boldsymbol {E}}=-{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}$

の両辺を面積分する。このとき、左辺にはストークスの定理を適用し、右辺については変動磁場がないという仮定をおく。すると

$\oint {\boldsymbol {E}}\cdot d{\boldsymbol {s}}=0$

を得るが、左辺は適当に回路上の区間を分割してその区間に対しての線積分を$V_{i}$などと記述することでそのまま得られる。

一方で、電流則の方は連続の式を用いる。連続の式はアンペール・マクスウェルの式

$\operatorname {rot} {\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {D}}$

に対して両辺divをとって、ガウスの法則を適用して得られる結果

$0=\operatorname {div} {\boldsymbol {j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\rho$

である。両辺体積積分をとるのだが、電荷密度は時間変化がないという仮定を置く。ガウスの公式によって

$0=\int _{S}{\boldsymbol {j}}\cdot d{\boldsymbol {S}}$

となるので、点に注目すれば、そこへ流れ込む全ての経路の電流を足し合わせることになり、電流法則である。

関連項目

• 重ね合わせの原理 : 線型回路の場合はこちらのほうが計算が簡単である。
• オームの法則
• 直流回路
• 電気回路
• フローネットワーク
• 線型方程式系（連立一次方程式）
• ファラデーの電磁誘導の法則