誤差関数のグラフ 相補誤差関数のグラフ 誤差関数 （ごさかんすう、英 : error function ）は、数学 におけるシグモイド 形状の特殊関数 （非初等関数 ）の一種で、確率論 、統計学 、物質科学 、偏微分方程式 などで使われる。ガウスの誤差関数 とも。定義 は以下の通り。
erf
(
x
)
=
2
π
∫
0
x
e
−
t
2
d
t
{\displaystyle \operatorname {erf} \left(x\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt}
相補誤差関数 (英 : complementary error function ) は erfc と表記 され、誤差関数 を使って以下のように定義 される。
erfc
(
x
)
=
1
−
erf
(
x
)
=
2
π
∫
x
∞
e
−
t
2
d
t
=
e
−
x
2
erfcx
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} (x)&=1-\operatorname {erf} (x)\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt=e^{-x^{2}}\operatorname {erfcx} (x)\end{aligned}}}
スケーリング相補誤差関数 (英 : scaled complementary error function )[ 1] erfcx も定義 される
(アンダーフロー [ 1] [ 2]
複素誤差関数 (英 : complex error function ) は
w
(
x
)
{\displaystyle w\left(x\right)}
表記 され、やはり誤差関数 を使って次のように定義 される（Faddeeva関数 とも呼ぶ）。
w
(
x
)
=
e
−
x
2
e
r
f
c
(
−
i
x
)
{\displaystyle w\left(x\right)=e^{-x^{2}}{\mathrm {erfc} }(-ix)\,\!}
図2. 被積分関数 exp(−z 2 ) を複素z -平面でプロットした図 図3. erf(z ) を複素z -平面でプロットした図 誤差関数 は奇関数 である。
任意の複素数
z
{\displaystyle z}
erf
(
−
z
)
=
−
erf
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {erf} (-z)=-\operatorname {erf} (z)}
また、次が成り立つ。
erf
(
z
∗
)
=
erf
(
z
)
∗
{\displaystyle \operatorname {erf} (z^{*})=\operatorname {erf} (z)^{*}}
ここで
z
∗
{\displaystyle z^{*}}
z
{\displaystyle z}
複素共役 である。
被積分関数
f
=
exp
(
−
z
2
)
{\displaystyle f=\exp \left(-z^{2}\right)}
f
=
erf
(
−
z
)
{\displaystyle f=\operatorname {erf} \left(-z\right)}
z
-
{\displaystyle z\operatorname {-} }
虚部
f
=
Im
(
f
)
=
0
{\displaystyle f=\operatorname {Im} \left(f\right)=0}
f
=
Im
(
f
)
{\displaystyle f=\operatorname {Im} \left(f\right)}
負の整数 となる点 を結んだ線 を太い赤色の線で表し 、正の整数 となる点を結んだ線を太い青色の線で表している。
f
=
Im
(
f
)
{\displaystyle f=\operatorname {Im} \left(f\right)}
整数 と整数の中間の一定値 になる点を結んだ線を細い緑色の線で表し、実部
f
=
Re
(
f
)
=
0
{\displaystyle f=\operatorname {Re} \left(f\right)=0}
正 の場合は青い細い線、負 の場合は赤い細い線で表している。
実軸では、
z
→
∞
{\displaystyle z\to \infty }
f
=
erf
(
z
)
{\displaystyle f=\operatorname {erf} \left(z\right)}
単位元 (1)に漸近し、
z
→
−
∞
{\displaystyle z\to -\infty }
±
i
∞
{\displaystyle \pm {\rm {i}}\infty }
誤差関数 は整関数 である。（無限大以外で）特異点 を持たず、テイラー展開 は常に収束 する。
定義 にある積分 は初等関数 を使った閉形式では評価できないが、被積分 関数
exp
(
−
z
2
)
{\displaystyle \exp(-z^{2})}
テイラー級数 に展開して、項 単位 で積分すると、誤差関数 のテイラー級数が以下のように得られる。
erf
(
z
)
=
2
π
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
z
2
n
+
1
n
!
(
2
n
+
1
)
=
2
π
(
z
−
z
3
3
+
z
5
10
−
z
7
42
+
z
9
216
−
⋯
)
{\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}-{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}-\ \cdots \right)}
これは全ての複素数
z
{\displaystyle z}
[ 3]
これを反復 的に計算 するには、以下のように定式化するのが扱い易い。
erf
(
z
)
=
2
π
∑
n
=
0
∞
(
z
∏
k
=
1
n
−
(
2
k
−
1
)
z
2
k
(
2
k
+
1
)
)
=
2
π
∑
n
=
0
∞
z
2
n
+
1
∏
k
=
1
n
−
z
2
k
{\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(z\prod _{k=1}^{n}{\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {-z^{2}}{k}}}
−
(
2
k
−
1
)
z
2
k
(
2
k
+
1
)
{\displaystyle {\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}}
k
{\displaystyle k}
k
+
1
{\displaystyle k+1}
項 を得る係数 を表し ている。
f
=
erf
(
z
)
{\displaystyle f=\operatorname {erf} \left(z\right)}
f
=
erfc
(
z
)
{\displaystyle f=\operatorname {erfc} \left(z\right)}
f
=
exp
(
−
z
2
)
{\displaystyle f=\exp \left(-z^{2}\right)}
比較 するには、次の級数 が利用できる。
e
z
2
erf
(
z
)
=
2
π
∑
n
=
0
∞
2
n
z
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
!
=
∑
n
=
0
∞
z
2
n
+
1
Γ
(
n
+
3
2
)
{\displaystyle e^{z^{2}}\operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{\Gamma (n+{\frac {3}{2}})}}}
∞
{\displaystyle \infty }
誤差関数 は正確に1になる（ガウス積分 を参照）。
誤差関数 の導関数 は定義 から即座に求められる。
d
d
z
e
r
f
(
z
)
=
2
π
e
−
z
2
{\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\,\mathrm {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-z^{2}}}
誤差関数 の不定積分 は次のようになる。
z
erf
(
z
)
+
e
−
z
2
π
{\displaystyle z\,\operatorname {erf} (z)+{\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}}
逆誤差関数 は次のような級数 となる。
erf
−
1
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
c
k
2
k
+
1
(
π
2
z
)
2
k
+
1
{\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}\left(z\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1}\,\!}
ここで、
c
0
=
1
{\displaystyle c_{0}=1}
c
k
=
∑
m
=
0
k
−
1
c
m
c
k
−
1
−
m
(
m
+
1
)
(
2
m
+
1
)
=
{
1
,
1
,
7
6
,
127
90
,
…
}
{\displaystyle c_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},\ldots \right\}}
となる。従って、次のような級数の展開が得られる（分子 と分母 に共通して出現する係数 は省いてある）。[ 4] [ 5]
erf
−
1
(
z
)
=
1
2
π
(
z
+
π
12
z
3
+
7
π
2
480
z
5
+
127
π
3
40320
z
7
+
4369
π
4
5806080
z
9
+
34807
π
5
182476800
z
11
+
⋯
)
{\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(z)={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(z+{\frac {\pi }{12}}z^{3}+{\frac {7\pi ^{2}}{480}}z^{5}+{\frac {127\pi ^{3}}{40320}}z^{7}+{\frac {4369\pi ^{4}}{5806080}}z^{9}+{\frac {34807\pi ^{5}}{182476800}}z^{11}+\cdots \right)\,\!}
なお、誤差関数 の正 と負の無限大 での値 はそれぞれ正と負の
1
{\displaystyle 1}
一連の何らかの測定 値 が正規分布 になっていて、標準偏差 が
σ
{\displaystyle \sigma }
期待値 が
0
{\displaystyle 0}
−
a
{\displaystyle -a}
a
{\displaystyle a}
確率 は
erf
(
a
σ
2
)
{\displaystyle \operatorname {erf} \,\left(\,{\frac {a}{\sigma {\sqrt {2}}}}\,\right)}
デジタル 通信 システム での符号誤り率 の特定などに使える。
誤差関数 と相補誤差関数 は例えば、境界条件 をヘヴィサイドの階段関数 で与えたときの熱方程式 の解 に出現する。
erf
x
+
erfc
x
≡
1
{\displaystyle \operatorname {erf} x+\operatorname {erfc} x\equiv 1}
x
{\displaystyle x}
erf
x
{\displaystyle \operatorname {erf} x}
erfc
x
{\displaystyle \operatorname {erfc} x}
クーロン力
1
/
r
{\displaystyle 1/r}
などの長距離相互作用を短距離成分
erfc
r
/
r
{\displaystyle \operatorname {erfc} r/r}
erf
r
/
r
{\displaystyle \operatorname {erf} r/r}
エバルトの方法 ）。
相補誤差関数 （および誤差関数 ）の大きな
x
{\displaystyle x}
漸近展開 は次のようになる。
e
r
f
c
(
x
)
=
e
−
x
2
x
π
[
1
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
1
⋅
3
⋅
5
⋯
(
2
n
−
1
)
(
2
x
2
)
n
]
=
e
−
x
2
x
π
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
n
!
(
2
x
)
2
n
{\displaystyle \mathrm {erfc} \left(x\right)={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n}}}\right]={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!(2x)^{2n}}}\,}
この級数 は有限な
x
{\displaystyle x}
項 だけで
erfc
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {erfc} \left(x\right)}
近似 が得られ、テイラー展開 よりも収束 が早い。
次のような近似 がある。
erf
2
(
x
)
≈
1
−
exp
(
−
x
2
4
/
π
+
a
x
2
1
+
a
x
2
)
{\displaystyle \operatorname {erf} ^{2}\left(x\right)\approx 1-\exp \left(-x^{2}{\frac {4/\pi +ax^{2}}{1+ax^{2}}}\right)}
ここで、
a
=
−
8
(
π
−
3
)
3
π
(
π
−
4
)
{\displaystyle a=-{\frac {8\left(\pi -3\right)}{3\pi \left(\pi -4\right)}}}
このような近似（曲線あてはめ ）は、実軸付近の誤差関数の値について、少なくとも十進で1桁の精度はある。
誤差関数 は正規分布 の累積分布関数(CDF)
Φ
{\displaystyle \Phi }
Φ
(
x
)
=
1
2
[
1
+
erf
(
x
2
)
]
=
1
2
erfc
(
−
x
2
)
{\displaystyle \Phi \left(x\right)={\frac {1}{2}}\left[1+{\mbox{erf}}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\,{\mbox{erfc}}\left(-{\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}
また、
erf
{\displaystyle \operatorname {erf} }
erfc
{\displaystyle \operatorname {erfc} }
e
r
f
(
x
)
=
2
Φ
(
x
2
)
−
1
e
r
f
c
(
x
)
=
2
[
1
−
Φ
(
x
2
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {erf} \left(x\right)&=2\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)-1\\\mathrm {erfc} \left(x\right)&=2\left[1-\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)\right]\end{aligned}}}
従って、誤差関数 は、正規分布 におけるテール確率 であるQ関数 とも密接に関連する。Q関数は誤差関数 を使って次のように表現 できる。
Q
(
x
)
=
1
2
−
1
2
erf
(
x
2
)
{\displaystyle Q\left(x\right)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} {\Bigl (}{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\Bigr )}}
Φ
{\displaystyle \Phi \,}
逆関数 は標準分位関数 またはプロビット関数 として知られており、逆誤差関数 を使って次のように表現できる。
probit
(
p
)
=
Φ
−
1
(
p
)
=
2
erf
−
1
(
2
p
−
1
)
=
−
2
erfc
−
1
(
2
p
)
{\displaystyle \operatorname {probit} (p)=\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\,\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)=-{\sqrt {2}}\,\operatorname {erfc} ^{-1}(2p)}
確率論 や統計学 では標準正規分布の累積分布関数の方がよく使われ、誤差関数 は他の数学の分野で使われる傾向がある。
誤差関数 はミッタク＝レフラー関数 の特殊ケースであり、合流型超幾何微分方程式 としても以下のように表現できる。
e
r
f
(
x
)
=
2
x
π
1
F
1
(
1
2
,
3
2
,
−
x
2
)
{\displaystyle \mathrm {erf} \left(x\right)={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},-x^{2}\right)}
フレネル積分 を使った単純な表現法もある。正規化ガンマ関数
P
{\displaystyle P}
不完全ガンマ関数 を使うと、次のように表せる。
erf
(
x
)
=
sgn
(
x
)
P
(
1
2
,
x
2
)
=
sgn
(
x
)
π
γ
(
1
2
,
x
2
)
{\displaystyle \operatorname {erf} \left(x\right)=\operatorname {sgn} \left(x\right)P\left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)={\operatorname {sgn} \left(x\right) \over {\sqrt {\pi }}}\gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)}
sgn
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {sgn} \left(x\right)\ }
符号関数 である。
一般化された誤差関数
E
n
(
x
)
{\displaystyle E_{n}\left(x\right)}
E
1
(
x
)
=
(
1
−
exp
−
x
)
π
{\displaystyle E_{1}\left(x\right)={\frac {\left(1-\exp ^{-x}\right)}{\sqrt {\pi }}}}
E
2
(
x
)
=
erf
(
x
)
{\displaystyle E_{2}\left(x\right)=\operatorname {erf} \left(x\right)}
E
3
(
x
)
{\displaystyle E_{3}\left(x\right)}
E
4
(
x
)
{\displaystyle E_{4}\left(x\right)}
E
5
(
x
)
{\displaystyle E_{5}\left(x\right)}
書籍 によっては、より一般化した関数 を論じている場合もある。
E
n
(
x
)
=
n
!
π
∫
0
x
e
−
t
n
d
t
=
n
!
π
∑
p
=
0
∞
(
−
1
)
p
x
n
p
+
1
(
n
p
+
1
)
p
!
{\displaystyle E_{n}\left(x\right)={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{n}}\,\mathrm {d} t={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\sum _{p=0}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {x^{np+1}}{(np+1)p!}}\,}
例えば、
E
0
(
x
)
{\displaystyle E_{0}\left(x\right)}
原点 を通る直線
E
0
(
x
)
=
x
e
π
{\displaystyle E_{0}\left(x\right)={\frac {x}{e{\sqrt {\pi }}}}}
E
2
(
x
)
{\displaystyle E_{2}\left(x\right)}
誤差関数
erf
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {erf} \left(x\right)}
n
!
{\displaystyle n!}
割る と、奇数 の
n
{\displaystyle n}
E
n
{\displaystyle E_{n}}
偶数 の
n
{\displaystyle n}
E
n
{\displaystyle E_{n}}
n
!
{\displaystyle n!}
n
>
0
{\displaystyle n>0}
誤差関数 の
x
{\displaystyle x}
正 のときのグラフ は互いに似ている。
これらの一般化された誤差関数 も x > 0 の場合にガンマ関数 と不完全ガンマ関数 を使って次のように表せ る。
E
n
(
x
)
=
Γ
(
n
)
(
Γ
(
1
n
)
−
Γ
(
1
n
,
x
n
)
)
π
,
x
>
0
{\displaystyle E_{n}\left(x\right)={\frac {\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)-\Gamma \left({\frac {1}{n}},x^{n}\right)\right)}{\sqrt {\pi }}},\quad \quad x>0}
従って、誤差関数 は不完全ガンマ関数を使って次のように表せる。
erf
(
x
)
=
1
−
Γ
(
1
2
,
x
2
)
π
{\displaystyle \operatorname {erf} \left(x\right)=1-{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)}{\sqrt {\pi }}}}
相補誤差関数 の累次積分 は次のように定義 される。
i
n
erfc
(
z
)
=
∫
z
∞
i
n
−
1
erfc
(
ζ
)
d
ζ
{\displaystyle \mathrm {i} ^{n}\operatorname {erfc} \,(z)=\int _{z}^{\infty }\mathrm {i} ^{n-1}\operatorname {erfc} \,(\zeta )\;\mathrm {d} \zeta \,}
これらには次のような冪級数 がある。
i
n
erfc
(
z
)
=
∑
j
=
0
∞
(
−
z
)
j
2
n
−
j
j
!
Γ
(
1
+
n
−
j
2
)
{\displaystyle \mathrm {i} ^{n}\operatorname {erfc} \,(z)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!\Gamma \left(1+{\frac {n-j}{2}}\right)}}\,}
ここから次のような対称性 が得られる。
i
2
m
erfc
(
−
z
)
=
−
i
2
m
erfc
(
z
)
+
∑
q
=
0
m
z
2
q
2
2
(
m
−
q
)
−
1
(
2
q
)
!
(
m
−
q
)
!
{\displaystyle \mathrm {i} ^{2m}\operatorname {erfc} (-z)=-\mathrm {i} ^{2m}\operatorname {erfc} \,(z)+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}}}
および、
i
2
m
+
1
erfc
(
−
z
)
=
i
2
m
+
1
erfc
(
z
)
+
∑
q
=
0
m
z
2
q
+
1
2
2
(
m
−
q
)
−
1
(
2
q
+
1
)
!
(
m
−
q
)
!
{\displaystyle \mathrm {i} ^{2m+1}\operatorname {erfc} (-z)=\mathrm {i} ^{2m+1}\operatorname {erfc} \,(z)+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}}\,}
C言語 の場合、C99 でヘッダファイル の<math.h>にdouble erf(double x)およびdouble erfc(double x)という関数 が宣言されている。
{erff(), erfcf()}という関数ペアはfloat型の値 を扱い、{erfl(), erfcl()}という関数ペアはlong double型の値を扱う。
C++ でも、C++11 で<cmath>のヘッダファイル にerfおよびerfcが宣言されている。double、floatおよびlong double型がオーバーロードされている。
複素数 を扱える誤差関数の実装は少ない。例えば、図2のようなグラフ の描画は、Mathematica を一般的な性能のコンピュータ で実行した場合に数分かかる。
FORTRAN では、例えば、GFortran がERF(X)と倍精度のDERF(X)を提供している。
SageMath に拠る[ 6]
x
erf(x)
erfc(x)
x
erf(x)
erfc(x)
0.00
000 000 000 000 00 000 000 000 000 0 1.30
007 944 940 652 44 992 055 059 347 563
0.05
371 977 797 016 624 628 022 202 983 38 1.40
285 119 762 648 81 714 880 237 351 189
0.10
462 916 018 284 89 537 083 981 715 11 1.50
105 146 475 310 73 894 853 524 689 273
0.15
995 971 427 363 49 004 028 572 636 51 1.60
348 383 344 644 01 651 616 655 355 992
0.20
702 589 210 478 45 297 410 789 521 55 1.70
790 458 590 774 56 209 541 409 225 436
0.25
326 390 168 236 93 673 609 831 763 07 1.80
090 501 635 730 71 909 498 364 269 286
0.30
626 759 459 127 43 373 240 540 872 57 1.90
790 429 235 257 47 209 570 764 742 530 1
0.35
382 053 562 310 32 617 946 437 689 68 2.00
322 265 018 952 73 677 734 981 047 265 8
0.40
392 355 046 668 45 607 644 953 331 54 2.10
020 533 343 667 01 979 466 656 332 985 5
0.45
481 719 786 923 68 518 280 213 076 32 2.20
137 153 702 018 11 862 846 297 981 891 4
0.50
499 877 813 046 54 500 122 186 953 46 2.30
856 823 402 643 35 143 176 597 356 651 5
0.55
323 366 325 108 96 676 633 674 891 04 2.40
311 486 103 354 92 688 513 896 645 078 57
0.60
856 090 847 925 92 143 909 152 074 08 2.50
593 047 982 555 04 406 952 017 444 958 94
0.65
029 327 355 671 84 970 672 644 328 16 2.60
763 965 583 470 65 236 034 416 529 349 20
0.70
801 193 837 418 47 198 806 162 581 53 2.70
865 667 260 059 48 134 332 739 940 524 33
0.75
155 633 653 515 13 844 366 346 484 87 2.80
924 986 805 334 54 075 013 194 665 459 024
0.80
100 964 707 660 49 899 035 292 339 51 2.90
958 902 121 900 54 041 097 878 099 458 836
0.85
668 057 608 352 53 331 942 391 647 47 3.0
977 909 503 001 41 022 090 496 998 585 441
0.90
908 212 422 832 13 091 787 577 167 87 3.10
988 351 342 632 80 011 648 657 367 199 596
0.95
890 807 273 277 94 109 192 726 722 06 3.20
993 974 238 848 24 761 151 762 095 0 × 10−6
1.00
700 792 949 714 87 299 207 050 285 13 3.30
996 942 290 203 56 709 796 438 161 5 × 10−6
1.10
205 069 574 081 70 794 930 425 918 30 3.40
998 478 006 637 14 993 362 862 285 4 × 10−6
1.20
313 978 229 635 38 686 021 770 364 620 3.50
999 256 901 627 66 983 723 414 127 5 × 10−7
^ a b W. J. Cody, "Algorithm 715: SPECFUN—A portable FORTRAN package of special function routines and test drivers," ACM Trans. Math. Soft. 19 , pp. 22–32 (1993).
'^ M. R. Zaghloul, "On the calculation of the Voigt line profile: a single proper integral with a damped sine integrand," Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 375 , pp. 1043–1048 (2007).
^ 項 の分母 はOEIS にある A007680 の数列である。^ InverseErf functions.wolfram.com^ 約分後の分子/分母の係数はOEIS の A092676/A132467 と同じで、約分していない分子は A002067 となる。
^ [1]
![{\displaystyle \mathrm {erfc} \left(x\right)={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n}}}\right]={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!(2x)^{2n}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e935f2cbc583c4776e8120f4d682a13858f9bba)
![{\displaystyle \Phi \left(x\right)={\frac {1}{2}}\left[1+{\mbox{erf}}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\,{\mbox{erfc}}\left(-{\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddf32952ceea51b52f7ea8519d7c7c2d7e85d82b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {erf} \left(x\right)&=2\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)-1\\\mathrm {erfc} \left(x\right)&=2\left[1-\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e7e152d44a1415eb6108322f0c4bf305f5595c)
