出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
|
|
9行目: |
9行目: |
|
{{Indent|<math>L = \int_a^b \sqrt{ g_{ij}{dx^i\over dt}{dx^j\over dt}}dt \ </math>}} |
|
{{Indent|<math>L = \int_a^b \sqrt{ g_{ij}{dx^i\over dt}{dx^j\over dt}}dt \ </math>}} |
|
|
|
|
|
として定義される。2つの[[接ベクトル]](tangent vector)<math>U=u^i{\partial\over \partial x_i} \ </math> と <math>V=v^i{\partial\over \partial x_i} \ </math> のなす角度<math>\theta_{}^{}</math> は、 |
|
として定義される。2つの接ベクトル(tangent vector)<math>U=u^i{\partial\over \partial x_i} \ </math> と <math>V=v^i{\partial\over \partial x_i} \ </math> のなす角度<math>\theta_{}^{}</math> は、 |
|
|
|
|
|
{{Indent|<math> |
|
{{Indent|<math> |
47行目: |
47行目: |
|
|
|
|
|
{{Template:Tensors}} |
|
{{Template:Tensors}} |
|
|
|
|
{{DEFAULTSORT:けいりようてんそる}} |
|
{{DEFAULTSORT:けいりようてんそる}} |
|
[[category:リーマン幾何学]] |
|
[[category:リーマン幾何学]] |
2015年4月15日 (水) 01:24時点における版
計量テンソル(けいりょうテンソル、metric tensor)は、リーマン幾何学において、空間内の距離と角度を定義する、階数(rank)が2のテンソルである。
多様体が与えられたとき、多様体の接空間で、滑らかに変化する非負の2次関数を選ぶことができる場合、その多様体をリーマン多様体と呼ぶ。そのため、計量テンソルは、リーマン計量(Riemannian metric)と呼ばれることもある。
ひとたび、ある座標系 xi が選ばれると、計量テンソルは行列形式で定義される。通常、Gとして表記され、各成分は、 として表される。以下では、添え字の和に関してアインシュタインの縮約記法を用いる。
a から b までの曲線の長さは、 をパラメータとして、
として定義される。2つの接ベクトル(tangent vector) と のなす角度 は、
で与えられる。
例
ユークリッド計量
2次元のユークリッド計量(平らな空間)は、
,
で与えられ、曲線の長さは、良く知られた公式
で与えられる。
座標系を替えたユークリッド計量の例をいくつか示す。
- 極座標(Polar coordinates)
- ,
- 円筒座標(Cylindrical coordinates)
-
- ,
- 球座標(Spherical coordinates)
- ,
- 平らな ミンコフスキー空間(flat Minkowski space)
- ,