宇宙際タイヒミュラー理論

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宇宙際タイヒミュラー理論(うちゅうさいタイヒミュラーりろん、Inter-Universal Teichmüller Theory, IUT)は、数学者望月新一によって開発された数学理論である。望月が2000年代に開発した理論にちなみ、数論幾何学における彼の以前の研究に続いて命名された。

歴史[編集]

望月によれば、それは「楕円曲線を備えた数体のタイヒミュラー理論の算術版」である。 この理論は、2012年8月に京都大学数理解析研究所(RIMS)プレプリントで初稿が公開[1]された。 この理論は、数論におけるさまざまな予想、特にABC予想の証明することができるとされた。 望月と他の数人の数学者は、理論は確かにそのような証拠を生み出すと主張しているが、ボン大学のペーター・ショルツェを含む数学者はこれを認めていない。英国のある数学者は「証明には欠陥があるという見方に変わってきている」と指摘している[2][3]

この理論の修正稿が京都大学数理解析研究所(RIMS)の望月のWebで公開されている[4]

その後まもなく、論文はイヴァン・フェセンコによって取り上げられ、数学コミュニティー全体が、ABC予想を証明したという主張を認識した。主張の受け入れは最初は熱狂的だったが、望月によって導入された独自の言語は、数論の専門家でさえ困惑するものだった[5][6]。IUTに関する全国ワークショップが2015年3月にRIMSで、2015年7月に北京で開催された[7]

IUTに関する国際ワークショップは2015年12月にオックスフォードで、2016年7月にRIMSで開催された。国際ワークショップは100人以上の参加者を集めた。これらのワークショップのプレゼンテーションはオンラインで見ることが出来る[8][9]。しかし、これらは望月の考えのより広い理解につながらず、彼が主張した証明のおかれている状況はこれらの出来事によっても変更されなかった[10]

2017年、望月の議論を詳細に検討した多くの数学者が、4編の論文のうち3編目の系3.12の証明の終わり近くに、理解できない点を指摘した[11][12]が、即座に望月自身によって修正版が発表された[13]

2018年3月、ペーター・ショルツェとジェイコブ・スティックス京都大学を訪れ、望月と星裕一郎は彼らと5日間議論した[14]。これは疑義を解決しなかったが、問題がどこにあるかを明確にした[11][15]。また、双方による議論のレポートの作成にもつながった。2018年5月に、ショルツェとスティックスは、2018年9月に更新された10ページのレポートを書いて、系3.12の証明の(以前に特定された)ギャップを詳述し、それは「非常に厳しいので、(彼らの意見では)小さな修正が証明戦略を救うことができない、そして望月のプレプリントはABC予想の証明を主張することはできない」[16]と抗議した。 ショルツェとスティックスは、IUTの簡略化をいくつか行ったが、その一部は劇的であり、望月はそれらすべてが有効とはみなしていない。彼らは望月の理論が抽象的な「パイロットオブジェクト」と具体的な「パイロットオブジェクト」を区別していないと主張した。

2018年9月、望月は彼の議論の見方と彼の理論のどの側面が誤解されていると考えるかについての彼の結論の41ページの要約を書いた[17]。彼は特に次の点をとりあげた:(数学)オブジェクトの「再初期化」、以前の「履歴」にアクセスできなくする、オブジェクトの異なる「バージョン」の「ラベル」; オブジェクトのタイプ(「種」)の強調。

望月は5月と9月のペーター・ショルツェとジェイコブ・スティックスによるレポートの8ページと5ページへの反応を2018年7月と10月に書き、ギャップは単純化の結果であって、望月の理論にはギャップがないという主張を維持した[18][19]

2017年のコメントと2018年の議論は、2018年9月のQuanta Magazine英語版の記事に記載されていた[11]

数学的な意味[編集]

理論の範囲[編集]

宇宙際タイヒミュラー理論は、数論幾何学における望月の以前の研究の続きである。この理論は、国際的な数学界によって査読され、好評を得ており、遠アーベル幾何学への主要な貢献、およびp 進タイヒミュラー理論[注 1]ホッジ・アラケロフ理論およびフロベニオイド圏の開発を含む。これは、ABC予想および関連する予想をより深く理解することを目的として明示的に参照して開発されたものである。幾何学的な設定では、IUTの特定のアイデアに類似したものが、幾何学的なスピロ不等式のフョードル・ボゴモロフ英語版による証明に現れる[20]

IUTの重要な前提条件は、望月の単遠アーベル幾何学とその強力な再構成結果である。これにより、その基本群または特定のガロア群の知識から、数体上の双曲線に関連するさまざまなスキーム理論オブジェクトを取得できる。IUTは、単遠アーベル幾何学のアルゴリズムの結果を適用して、算術変形を適用した後、関連するスキームを再構築する。主要な役割は、望月のエタルシータ理論で確立された3つの剛性によって演じられる。大まかに言えば、算術変形は与えられた環の乗算を変更し、タスクは加算が変更された量を測定することである[21]。 変形手順のインフラストラクチャは、Θリンクやlogリンクなど、いわゆるホッジ劇場間の特定のリンクによってデコードされる[22]

これらのホッジ劇場は、IUTの2つの主要な対称性を使用する。乗法演算と加法幾何学である。ホッジ劇場は、アデールイデールなどの古典的オブジェクトをグローバル要素に関連して一般化し、一方で、望月のホッジ・アラケロフ理論に登場する特定の構造を一般化する。劇場間のリンクは、またはスキーム構造と互換性がなく、従来の数論幾何学の外部で実行される。 ただし、それらは特定の群構造と互換性があり、絶対ガロア群英語版や特定のタイプの位相群はIUTで基本的な役割を果たす。関数性の一般化である多重放射性の考慮事項は、3つの穏やかな不確定性を導入する必要があることを意味している[22]

数論の結果[編集]

IUTは主に、数論におけるさまざまな予想、特にABC予想に適用されるが、次のようなより多くの幾何学的予想にも適用される。楕円曲線ではスピロ予想、曲線ではヴォイタ予想

最初のステップは、これらのオブジェクトの算術情報を、フロベニオイド圏の設定に変換することである。この側の追加の構造により、主張された結果に変換されるステートメントを推測することができると主張されている[23]

彼が認めている望月の議論の1つの問題は、IUTを使用して彼のABC予想の証明で中間結果を得ることが可能ではないように見えることである。言い換えれば、ディオファントス幾何英語版に新しい結果をもたらす、外部の専門家による分析をより容易に受け入れられる彼の議論の小さなサブセットはない[23]

ベッセリン・ディミトロフ[24]は望月のABC予想に関する証明の議論から実効的な(定量的な)結果を抽出した[25]。(実効的であれば具体的な計算で反例を与えられる可能性が生じるので)原理的にはこれにより反証ができる可能性もある。

脚注[編集]

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注釈[編集]

  1. ^ p 進数についてのタイヒミュラー空間の理論英語版(タイヒミュラー理論は、リーマン面についてのモジュライ空間の理論で、タイヒミュラー空間はドイツの数学者オズヴァルト・タイヒミュラーに因む)。

出典[編集]

  1. ^ 京都大学数理解析研究所 - プレプリント -”. www.kurims.kyoto-u.ac.jp. 2021年4月17日閲覧。
  2. ^ 独ボン大教授「ABC予想は今も予想のままだ」”. headtopics.com. HEAD TOPICS. 2020年6月3日閲覧。
  3. ^ ABC予想「証明は本当か?」 欧米で論文に異議相次ぐ”. www.asahi.com. 朝日新聞. 2020年6月3日閲覧。
  4. ^ Mochizuki, Shinichi (2012a), Inter-universal Teichmuller Theory I: Construction of Hodge Theaters, http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20I.pdf 
    Mochizuki, Shinichi (2012b), Inter-universal Teichmuller Theory II: Hodge–Arakelov-theoretic Evaluation, http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20II.pdf 
    Mochizuki, Shinichi (2012c), Inter-universal Teichmuller Theory III: Canonical Splittings of the Log-theta-lattice, http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20III.pdf 
    Mochizuki, Shinichi (2012d), Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations, http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf 2012年9月9日閲覧。 
  5. ^ Ball, Peter (10 September 2012). “Proof claimed for deep connection between primes”. Nature. doi:10.1038/nature.2012.11378. https://www.nature.com/news/proof-claimed-for-deep-connection-between-primes-1.11378 2018年3月19日閲覧。. 
  6. ^ The Paradox of the Proof By Caroline Chen, accessed May 11, 2013
  7. ^ Future and past workshops on IUT theory of Shinichi Mochizuki, https://www.maths.nottingham.ac.uk/personal/ibf/files/symcor.iut.cf.html 
  8. ^ Oxford Workshop on IUT Theory of Shinichi Mochizuki, December 7–11 2015”. University of Nottingham. 2018年3月19日閲覧。
  9. ^ Inter-universal Teichmüller Theory Summit 2016 (RIMS workshop, July 18-27 2016)”. University of Nottingham. 2018年3月19日閲覧。
  10. ^ Revell, Timothy (2017年12月18日). “Mathematician set to publish ABC proof almost no one understands”. New Scientist. 2018年4月14日閲覧。
  11. ^ a b c Klarreich, Erica (September 20, 2018). “Titans of Mathematics Clash Over Epic Proof of ABC Conjecture”. Quanta Magazine. https://www.quantamagazine.org/titans-of-mathematics-clash-over-epic-proof-of-abc-conjecture-20180920/. 
  12. ^ The ABC conjecture has still not been proved” (2017年12月17日). 2018年3月17日閲覧。 “For each of these people, the proof that had stumped them was for [Corollary] 3.12 in IUT3. It was striking to get three independent unsolicited emails in a matter of days which all zeroed in on that same proof as a point of confusion.”
  13. ^ 2017年の修正箇所を参照”. www.kurims.kyoto-u.ac.jp. 望月新一の最新情報. 2020年5月10日閲覧。
  14. ^ REPORT ON DISCUSSIONS”. www.kurims.kyoto-u.ac.jp. 京都大学数理解析研究所 (2020年5月12日). 2020年5月17日閲覧。
  15. ^ Mochizuki, Shinichi. “March 2018 Discussions on IUTeich”. 2018年10月2日閲覧。 Web-page by Mochizuki describing discussions and linking consequent publications (following references), papers by Ivan Fesenko and a video by Fumiharu Kato of Tokyo Institute of Technology
  16. ^ Why abc is still a conjecture”. 2018年9月23日閲覧。 (updated version of their May report)
  17. ^ Mochizuki, Shinichi. “Report on Discussions, Held during the Period March 15 – 20, 2018, Concerning Inter-Universal Teichmüller Theory”. 2018年10月2日閲覧。 “the … discussions … constitute the first detailed, … substantive discussions concerning negative positions … IUTch.”
  18. ^ Mochizuki, Shinichi. “Comments on the manuscript by Scholze-Stix concerning Inter-Universal Teichmüller Theory”. 2018年10月2日閲覧。
  19. ^ Mochizuki, Shinichi. “Comments on the manuscript (2018-08 version) by Scholze-Stix concerning Inter-Universal Teichmüller Theory”. 2018年10月2日閲覧。 “Most of the Comments of (his previous reaction) were not addressed in (their September update) and hence … remain valid” Supplement to his previous reaction
  20. ^ Mochizuki, Shinichi (2016), Bogomolov’s proof of the geometric version of the Szpiro conjecture from the point of view of inter-universal Teichmüller theory, Res. Math. Sci. 3(2016), 3:6 
  21. ^ Fesenko, Ivan (2016), Fukugen, Inference: International Review of Science, 2016, http://inference-review.com/article/fukugen 
  22. ^ a b Mochizuki, Shinichi (2016), The mathematics of mutually alien copies: from Gaussian integrals to inter-universal Teichmüller theory, http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Alien%20Copies,%20Gaussians,%20and%20Inter-universal%20Teichmuller%20Theory.pdf 
  23. ^ a b Conrad, Brian (2015年12月15日). “Notes on the Oxford IUT workshop by Brian Conrad”. 2018年3月18日閲覧。
  24. ^ Vesselin Dimitrov - Scholars | Institute for Advanced Study” (英語). www.ias.edu (2019年12月9日). 2020年5月11日閲覧。
  25. ^ Vesselin, Dimitrov (14 January 2016). "Effectivity in Mochizuki's work on the abc-conjecture". arXiv:1601.03572

外部リンク[編集]

関連書籍[編集]

  • 加藤文元:「宇宙と宇宙をつなぐ数学 IUT理論の衝撃」、KADOKAWA、 ISBN 978-4044004170 (2019年4月25日)。