エーレンフェストの定理

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量子力学
不確定性原理
紹介 · 数学的基礎

エーレンフェストの定理(エーレンフェストのていり、: Ehrenfest's theorem[1])は、量子力学における重要な定理のひとつで、大まかにいえば『シュレーディンガー方程式期待値を取ることで古典力学における運動方程式(に大変よく似たもの)が得られる』ことを主張している。この定理はオランダ物理学者ポール・エーレンフェストにより提唱され、量子力学と古典力学の対応を論じるときによく用いられる。

定理の主張[編集]

ポテンシャルの影響下にある質量の粒子Aの状態が、波動関数であらわされているものとする。この状態にある粒子A(およびそれと同じ状態にある複数の粒子)の位置を測定した場合に得られる『観測値の期待値』をそれぞれとする。このとき、

が成立する。なお、ここでは波動関数は規格化されているものとする。また、ここで、期待値を導き出す操作は、通常量子力学で行われている方法どおりで

とする。他も同様である。

証明[編集]

まず、期待値の定義より

を得る。ここでシュレーディンガー方程式より

部分積分と、積分範囲が空間全体にわたること、及び波動関数は無限遠では0となるという仮定を用いると

これらを用いると

再度シュレーディンガー方程式を用いて

また部分積分を使うと、

加えて

を用いると、

を得る。この右辺の積分は、期待値の導出法からの期待値であるから、

となる。

脚注[編集]

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関連項目[編集]