ディラック方程式

場の量子論
(ファインマン・ダイアグラム)
歴史
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ディラック方程式（ディラックほうていしき、英: Dirac equation）は、フェルミ粒子を記述するディラック場が従う基礎方程式である。ポール・ディラックにより相対論的量子力学として導入され、場の量子論に受け継がれている。

歴史

非相対論的なシュレーディンガー方程式を、相対論へ対応するための拡張として、最初クライン-ゴルドン方程式が考案された。これは負のエネルギー解と負の確率密度の問題が生じた（この問題は、その後の場の量子論においては回避される）。また、クライン-ゴルドン方程式にはスピンが出てこない問題もあった（これはクライン-ゴルドン方程式に従うスカラー場がスピンを持たない粒子を記述する為である）。

ポール・ディラックは1928年にディラック方程式を基礎方程式とする（特殊）相対論的量子力学を見出した。ディラック方程式からは負の確率密度は生じず、スピンの概念が自然に現れる。

しかし、ディラック方程式からは、自然界には存在しないような負のエネルギーの状態が現れるという問題があった。そこで、オスカル・クラインは、ある種の強いポテンシャルのもとで正エネルギーの電子が負エネルギー状態へ遷移しうることを示して、理論から負エネルギー状態を完全に排除することが困難であることを指摘した。

1930年にディラックは「真空とは、負エネルギーの電子が完全に満たされた状態である」とするディラックの海の概念（空孔理論、hole theory）を考案した。ディラックの海では負エネルギーの電子が取り除かれた「空孔」が生じることがあるが、ディラックは当初この空孔による粒子を陽子であると考えた。後に空孔は陽電子であることが指摘された（ヘルマン・ワイル、ロバート・オッペンハイマーによる）。ディラックの海の空孔は正のエネルギーを持ち、反粒子に対応する。光による電子と陽電子の生成は、真空中の負エネルギー電子が光を吸収して正エネルギー状態へ遷移し、あとに空孔を残す現象として説明される。1932年のデヴィッド・アンダーソンによる陽電子の発見により、ディラックの海は現実の現象を説明する優れた理論とされた。

その後、リチャード・P・ファインマン等により拡張、解釈の見直しが図られた（相対論的な場の量子論）。その結果、ディラックの海を考えなくとも、電子と陽電子を対称に扱うことができるようになった。

→詳細は「量子電磁力学」を参照

ディラック方程式

クライン・ゴルドン方程式は2階の時間微分を含むことが問題であるため、微分演算子を線形になるように定義する。$(\alpha ^{0}{\partial \over \partial (ct)}+\alpha ^{k}{\partial \over \partial x^{k}}+\beta {mc \over \hbar })\psi (t,x)=0$この方程式が見たさなければならない条件を見出し、この係数、$\alpha ^{0},\alpha ^{k},\beta$を決める。この方程式の解がクライン・ゴルドン方程式を満たすとして、$(\alpha ^{0}{\partial \over \partial (ct)}+\alpha ^{k}{\partial \over \partial x^{k}}+\beta {mc \over \hbar })^{2}\psi (t,x)=0$がクライン・ゴルトン方程式の形のように一致するよう定める。展開すると、$(\alpha ^{0})^{2}{\partial ^{2} \over \partial (ct)^{2}}+\alpha ^{k}\alpha ^{l}{\partial ^{2} \over \partial x^{k}\partial x^{l}}+\beta ^{2}{m^{2}c^{2} \over \hbar ^{2}}+(\alpha ^{0}\alpha ^{k}+\alpha ^{k}\alpha ^{0}){\partial ^{2} \over \partial (ct)\,\partial x^{k}}+(\alpha ^{0}\beta +\beta \alpha ^{0}){m \over \hbar }{\partial \over \partial t}+(\alpha ^{k}\beta +\beta \alpha ^{k}){mc \over \hbar }{\partial \over \partial x^{k}}$係数を比較すると、$(\alpha ^{0})^{2}=-1,\alpha ^{k}\alpha ^{l}=\delta ^{kl},\beta ^{2}=-1,\alpha ^{0}\alpha ^{k}+\alpha ^{k}\alpha ^{0}=\alpha ^{0}\beta +\beta \alpha ^{0}=\alpha ^{k}\beta +\beta \alpha ^{k}=0$まとめるために、$\alpha ^{\mu }=(\alpha ^{k},\alpha ^{0})$と置くと、${\alpha ^{\mu },\alpha ^{n}u}=2\eta ^{\mu \nu },{\alpha ^{\mu }\beta }=0,\beta ^{2}=-1$であり、ここで、ηはミンコフスキー計量である。括弧積は反交換子である。方程式の左からβをかけると条件$\beta ^{2}=-1$から、新たに$(\beta \alpha ^{0}{\partial \over \partial (ct)}+\beta \alpha ^{k}{\partial \over \partial x^{k}}-{mc \over \hbar })\psi (t,x)=0$であり、$\gamma ^{0}=-i\beta \alpha ^{0},\gamma ^{i}=-i\beta \alpha ^{0}$と置き、微分演算子もまとめれば、ディラック方程式は、$(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-{mc \over \hbar })\psi (t,x)=0$となる。

ディラック方程式は $\hbar =1,c=1$ とする自然単位系では

$i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi (x)-m\psi (x)=0$

と表される。ψ は4成分スピノルの場（ディラック場）である。

$\psi (x)={\begin{pmatrix}\psi _{1}(x)\\\psi _{2}(x)\\\psi _{3}(x)\\\psi _{4}(x)\\\end{pmatrix}}$

m は ψ の質量である。μ=0,1,2,3 についてはアインシュタインの縮約記法を用いる。微分$\partial _{\mu }$ は

$\partial _{\mu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=\left({\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)$

である。 $\gamma ^{\mu }$ はガンマ行列（ディラック行列）と呼ばれる 4×4行列で

$\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}\equiv \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }$

を満たす。$\eta _{\mu \nu }=\mathrm {diag} (+1,-1,-1,-1)$ はミンコフスキー空間の計量テンソルである。ディラック方程式は3次元的に書けば

$i\gamma ^{0}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+i{\boldsymbol {\gamma }}\cdot \nabla \psi -m\psi =0$

となる。移項して左から $\gamma ^{0}$ を掛ければ

$i{\frac {\partial \psi }{\partial {}t}}=H\psi =-i{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \nabla \psi +\beta m\psi$

と表すことができる。 ただし $\alpha ^{j}=\gamma ^{0}\gamma ^{j},\beta =\gamma ^{0}$ である。ここで$H=-i{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \nabla +\beta m$ はディラックのハミルトニアンと呼ばれる。

$\alpha ^{\mu },\beta$の反交換関係を$\gamma ^{\mu }$の反交換関係に置き換えると、${\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }}=-2\eta ^{\mu \nu }$となり、これをディラック代数という。

ディラックの着想

相対論的な量子力学の基礎方程式として考案されたクライン-ゴルドン方程式

$-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=-\nabla ^{2}\psi (t,{\boldsymbol {x}})+m^{2}\psi (t,{\boldsymbol {x}})$

は、時間について2階の微分方程式であることから負の確率密度を生じ、確率解釈が困難となる問題を抱えていた。これを時間について1階の微分方程式

$i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-i{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \nabla \psi (t,{\boldsymbol {x}})+\beta m\psi (t,{\boldsymbol {x}})$

に帰着させるべく、ディラックは空間成分についての2階微分を1階微分に分解した関係式

$(-i{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \nabla +\beta m)^{2}=-\nabla ^{2}+m^{2}$

を満たすように４つの係数 α=(α₁, α₂, α₃)、β を与えることを考えた。このとき、α_i(i=1,2,3)、βに要求される代数関係は

$\{\alpha _{i},\alpha _{j}\}=0\quad i\neq j,$

$\{\alpha _{i},\beta \}=0,~(\alpha _{i})^{2}=\beta ^{2}=1$

となるが、こうした性質を満たすには係数は行列でなくてはならない。

ローレンツ共変性

ディラック方程式は相対論的な方程式であり、ローレンツ共変性を持つ。

即ち、ローレンツ変換

$x^{\mu }\rightarrow x'^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }x^{\nu }$

$\psi _{a}(x)\rightarrow \psi '_{a}(x)=[D(\Lambda )]_{a}{}^{b}\,\psi _{b}(\Lambda ^{-1}x)$

(μ,ν=0,1,2,3は時空の4成分、a, b = 1,2,3,4 はスピノルの4成分)に対して、

$(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi '(x)=0$

となる。ディラックスピノルの変換性をあらわす4×4行列 D(Λ) は

$[D(\Lambda )]_{a}{}^{c}\,[\gamma ^{\mu }]_{c}{}^{d}\,[D(\Lambda )^{-1}]_{d}{}^{b}=(\Lambda ^{-1})^{\mu }{}_{\nu }[\gamma ^{\nu }]_{a}{}^{b}$

によって定まる。

ワイル表示においては行列式 1 の2×2行列 M を用いて

$D(\Lambda )={\begin{pmatrix}M&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &(M^{\dagger })^{-1}\\\end{pmatrix}}$

$M\sigma ^{\mu }M^{\dagger }=(\Lambda ^{-1})^{\mu }{}_{\nu }\sigma ^{\nu }$

と書くことができる。例えば、z-方向のブーストの場合は

$\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }={\begin{pmatrix}\cosh \beta &0&0&\sinh \beta \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh \beta &0&0&\cosh \beta \\\end{pmatrix}}$

$M={\begin{pmatrix}e^{-\beta /2}&0\\0&e^{\beta /2}\\\end{pmatrix}}$

となる。

参考文献

原論文

• P.A.M. Dirac (1928). “The Quantum Theory of the Electron”. Proc. R. Soc. A 117 (778): 610-624. doi:10.1098/rspa.1928.0023. http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/117/778/610. 

関連項目

• 相対性理論
• 量子力学
• 場の量子論
• 運動方程式
  • クライン＝ゴルドン方程式 - スピン0の相対論的ボース粒子。スカラー場。
  • マクスウェル方程式 - スピン1、質量0の相対論的ボース粒子。ベクトル場。
  • プロカ方程式 - スピン1、質量が0でない相対論的ボース粒子。ベクトル場。
  • ラリタ＝シュウィンガー方程式 - スピン3/2。ベクトル・スピノル場（ラリタ＝シュウィンガー場）。
  • アインシュタイン方程式 - スピン2。
  • マクシモン - 修正ディラック方程式