ディラック方程式

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場の量子論
Feynmann Diagram Gluon Radiation.svg
(ファインマン・ダイアグラム)
歴史

ディラック方程式(ディラックほうていしき)はフェルミ粒子を記述するディラック場が従う基礎方程式である。ポール・ディラックにより相対論的量子力学として導入され、場の量子論に受け継がれている。

歴史[編集]

非相対論的なシュレーディンガー方程式を、相対論へ対応するための拡張として、最初クライン-ゴルドン方程式が考案された。これは負のエネルギー解と負の確率密度の問題が生じた(この問題は、その後の場の量子論においては回避される)。また、クライン-ゴルドン方程式にはスピンが出てこない問題もあった(これはクライン-ゴルドン方程式に従うスカラー場がスピンを持たない粒子を記述する為である)。

ポール・ディラック1928年ディラック方程式を基礎方程式とする(特殊)相対論的量子力学を見出した。ディラック方程式からは負の確率密度は生じず、スピンの概念が自然に現れる。 しかしディラック方程式からは、自然界には存在しないような負のエネルギーの状態が現れるという問題があった。オスカル・クラインは、ある種の強いポテンシャルのもとで正エネルギーの電子が負エネルギー状態へ遷移しうることを示して、理論から負エネルギー状態を完全に排除することが困難であることを指摘した。1930年にディラックは、「真空とは、負エネルギーの電子が完全に満たされた状態である」とするディラックの海の概念(空孔理論hole theory)を考案した。ディラックは当初この空孔による粒子を陽子であると考えたが、それは後に陽電子であることが指摘された(ヘルマン・ワイルロベルト・オッペンハイマーによる)。ディラックの海の空孔は正のエネルギーを持ち、反粒子に対応する。光による電子と陽電子の生成は、真空中の負エネルギー電子が光を吸収して正エネルギー状態へ遷移し、あとに空孔を残す現象として説明される。

1932年デヴィッド・アンダーソンによる陽電子の発見により、この空孔理論は現実の現象を説明する優れた理論であったが、その後、リチャード・P・ファインマン等により拡張、解釈の見直しが図られた(相対論的な場の量子論)。その結果、真空での負エネルギーの電子の海(ディラックの海→空孔理論)を考えなくとも、電子と陽電子を対称に扱うことができるようになった。

ディラック方程式[編集]

ディラック方程式は とする自然単位系では

と表される。ψ は4成分スピノルの場(ディラック場)である。

m は ψ の質量である。μ=0,1,2,3 についてはアインシュタインの縮約記法を用いる。微分

である。 ガンマ行列(ディラック行列)と呼ばれる 4×4行列で

を満たす。ミンコフスキー空間計量テンソルである。ディラック方程式は3次元的に書けば

となる。移項して左から を掛ければ

と表すことができる。 ただし である。ここで はディラックのハミルトニアンと呼ばれる。

ディラックの着想[編集]

相対論的な量子力学の基礎方程式として考案されたクライン-ゴルドン方程式

は、時間について2階の微分方程式であることから負の確率密度を生じ、確率解釈が困難となる問題を抱えていた。これを時間について1階の微分方程式

に帰着させるべく、ディラックは空間成分についての2階微分を1階微分に分解した関係式

を満たすように4つの係数 α=(α1, α2, α3)、β を与えることを考えた。このとき、αi(i=1,2,3)、βに要求される代数関係は

となるが、こうした性質を満たすには係数は行列でなくてはならない。

ローレンツ共変性[編集]

ディラック方程式は相対論的な方程式であり、ローレンツ共変性を持つ。

即ち、ローレンツ変換

(μ,ν=0,1,2,3は時空の4成分、a, b = 1,2,3,4 はスピノルの4成分)に対して、

となる。ディラックスピノルの変換性をあらわす4×4行列 D(Λ) は

によって定まる。

ワイル表示においては行列式 1 の2×2行列 M を用いて

と書くことができる。例えば、z-方向のブーストの場合は

となる。

参考文献[編集]

原論文

関連項目[編集]