ディラック方程式

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場の量子論
Feynmann Diagram Gluon Radiation.svg
(ファインマン・ダイアグラム)
歴史

ディラック方程式(ディラックほうていしき)はフェルミ粒子を記述するディラック場が従う基礎方程式である。ポール・ディラックにより相対論的量子力学として導入され、場の量子論に受け継がれている。

歴史[編集]

非相対論的なシュレーディンガー方程式を、相対論へ対応するための拡張として、最初クライン-ゴルドン方程式が考案された。これは負のエネルギー解と負の確率密度の問題が生じた(この問題は、その後の場の量子論においては回避される)。また、クライン-ゴルドン方程式にはスピンが出てこない問題もあった(これはクライン-ゴルドン方程式に従うスカラー場がスピンを持たない粒子を記述する為である)。

ポール・ディラック1928年ディラック方程式を基礎方程式とする(特殊)相対論的量子力学を見出した。 ディラック方程式からは負の確率密度は生じず、スピンの概念が自然に現れる。 しかしディラック方程式からは、自然界には存在しないような負のエネルギーの状態が現れるという問題があった。 オスカル・クラインは、ある種の強いポテンシャルのもとで正エネルギーの電子が負エネルギー状態へ遷移しうることを示して、理論から負エネルギー状態を完全に排除することが困難であることを指摘した。 1930年にディラックは、「真空とは、負エネルギーの電子が完全に満たされた状態である」とするディラックの海の概念(空孔理論hole theory)を考案した。 ディラックは当初この空孔による粒子を陽子であると考えたが、それは後に陽電子であることが指摘された(ヘルマン・ワイルロベルト・オッペンハイマーによる)。 ディラックの海の空孔は正のエネルギーを持ち、反粒子に対応する。 光による電子と陽電子の生成は、真空中の負エネルギー電子が光を吸収して正エネルギー状態へ遷移し、あとに空孔を残す現象として説明される。

1932年デヴィッド・アンダーソンによる陽電子の発見により、この空孔理論は現実の現象を説明する優れた理論であったが、その後、リチャード・P・ファインマン等により拡張、解釈の見直しが図られた(相対論的な場の量子論)。 その結果、真空での負エネルギーの電子の海(ディラックの海→空孔理論)を考えなくとも、電子と陽電子を対称に扱うことができるようになった。

ディラック方程式[編集]

ディラック方程式は \hbar=1,c=1 とする自然単位系では

i\gamma^\mu\partial_\mu\psi(x) -m\psi(x)=0

と表される。ψ は4成分スピノルの場(ディラック場)である。

 \psi(x) = 
\begin{pmatrix}
 \psi_1(x)\\
 \psi_2(x)\\
 \psi_3(x)\\
 \psi_4(x)\\
\end{pmatrix}

m は ψ の質量である。 μ=0,1,2,3 についてはアインシュタインの縮約記法を用いる。微分\partial_\mu

\partial_\mu =\frac{\partial}{\partial x^\mu}
 =\left( \frac{\partial}{\partial t}, \nabla \right)

である。 \gamma^\muガンマ行列(ディラック行列)と呼ばれる 4×4行列で

\{ \gamma^\mu, \gamma^\nu \}
 \equiv \gamma^\mu\gamma^\nu + \gamma^\nu\gamma^\mu
 =2\eta^{\mu\nu}

を満たす。\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)ミンコフスキー空間計量テンソルである。 ディラック方程式は3次元的に書けば

i\gamma^0\frac{\partial\psi}{\partial t}
 +i\boldsymbol{\gamma}\cdot\nabla\psi
 -m\psi=0

となる。移項して左から \gamma^0 を掛ければ

i\frac{\partial\psi}{\partial{}t} =H\psi
 =-i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla\psi +\beta m\psi

と表すことができる。 ただし \alpha^j=\gamma^0\gamma^j, \beta=\gamma^0 である。 ここでH=-i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla+\beta m はディラックのハミルトニアンと呼ばれる。

ディラックの着想[編集]

相対論的な量子力学の基礎方程式として考案されたクライン-ゴルドン方程式

-\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}
 =-\nabla^2\psi(t,\boldsymbol{x}) +m^2\psi(t,\boldsymbol{x})

は、時間について2階の微分方程式であることから負の確率密度を生じ、確率解釈が困難となる問題を抱えていた。これを時間について1階の微分方程式

i\frac{\partial\psi}{\partial t}
 =-i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla\psi(t,\boldsymbol{x})
 +\beta m\psi(t,\boldsymbol{x})

に帰着させるべく、ディラックは空間成分についての2階微分を1階微分に分解した関係式

( -i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla +\beta m)^2
 =-\nabla^2+ m^2

を満たすように4つの係数 α=(α1, α2, α3)、β を与えることを考えた。このとき、αi(i=1,2,3)、βに要求される代数関係は

\{ \alpha_i, \alpha_j \}=0\quad i\neq j,

\{ \alpha_i, \beta \}=0,~
(\alpha_i)^2 = \beta^2 =1

となるが、こうした性質を満たすには係数は行列でなくてはならない。

ローレンツ共変性[編集]

ディラック方程式は相対論的な方程式であり、ローレンツ共変性を持つ。

即ち、ローレンツ変換

x^\mu \rightarrow x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu x^\nu
\psi_a(x) \rightarrow \psi'_a(x) = [D(\Lambda)]_a{}^b\,\psi_b(\Lambda^{-1}x)

(μ,ν=0,1,2,3は時空の4成分、a, b = 1,2,3,4 はスピノルの4成分)に対して、

(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi'(x)=0

となる。ディラックスピノルの変換性をあらわす4×4行列 D(Λ) は

[D(\Lambda)]_a{}^c \,[\gamma^\mu]_c{}^d \,[D(\Lambda)^{-1}]_d{}^b
 = (\Lambda^{-1})^\mu{}_\nu[\gamma^\nu]_a{}^b

によって定まる。

ワイル表示においては行列式 1 の2×2行列 M を用いて

D(\Lambda) = 
\begin{pmatrix}
M & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & (M^\dagger)^{-1} \\
\end{pmatrix}
M \sigma^\mu M^\dagger
 = (\Lambda^{-1})^\mu{}_\nu\sigma^\nu

と書くことができる。例えば、z-方向のブーストの場合は

\Lambda^\mu{}_\nu = 
\begin{pmatrix}
\cosh\beta & 0 & 0 & \sinh\beta \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\sinh\beta & 0 & 0 & \cosh\beta \\
\end{pmatrix}
M = 
\begin{pmatrix}
e^{-\beta/2} & 0 \\
0 & e^{\beta/2} \\
\end{pmatrix}

となる。

参考文献[編集]

原論文

関連項目[編集]