直交多項式

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直交多項式(ちょっこうたこうしき)または直交多項式系とは、同一系列内の異なる多項式 Pm, Pn (m≠n) の内積が必ずゼロになる(直交している)多項式系列のこと。

古典的直交多項式[編集]

定義[編集]

1変数多項式(monic polynomials)の場合

Pm(x) (m=0,…,∞)を1変数の多項式列とする。任意の n,m (m≠n)についてこの多項式列が次式を満たすとき、この多項式列は重み関数(weight function) W(x)に対して直交多項式系(Orthogonal Polynomial System)であるという。

 \langle P_m(x), P_n(x) \rangle_{W} = \int_a^b W(x) P_m(x) P_n(x) dx = \delta_{m,n}

ここで、δm,nクロネッカーのデルタを表す。

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性質[編集]

直交多項式系 Pn は Dn を使って次のように書ける。なお、(fj,fk)W は上記の直交多項式の定義式とおなじ。


\begin{array}{lcl}
   P_n(x)    &=& \frac{D_n}{\sqrt{D_{n-1}D_n}} \\
   D_{-1}(x) &=& 1      \\
   D_0(x)    &=& f_0(x)
\end{array}

D_n(x) = \det 
\begin{vmatrix}
  & \langle f_0, f_0 \rangle_W     & \langle f_0, f_1 \rangle_W     & \cdots  & \langle f_0, f_n \rangle_W \\
  & \langle f_1, f_0 \rangle_W     & \langle f_1, f_1 \rangle_W     & \cdots  & \langle f_1, f_n \rangle_W \\
  & \vdots                         & \vdots                         & \ddots  & \vdots                     \\
  & \langle f_{n-1}, f_0 \rangle_W & \langle f_{n-1}, f_1 \rangle_W & \cdots  & \langle f_{n-1}, f_n \rangle_W \\
  & f_0(x)                         & f_1(x)                         & \cdots  & f_n(x)                         \\
\end{vmatrix}

fn(x) = xn とおくとモーメント (数学)との関係を得る。

\begin{array}{lcl}
 m_n &=& \langle f_j(x), f_k(x) \rangle_W  \\
     &=& \int f_j(x) f_k(x) W(x) dx        \\
     &=& \int x^j x^k W(x) dx    \\
     &=& \int x^n W(x)dx        \\
\end{array}
ただし、 n = j + k

D_n(x) = \det 
\begin{vmatrix}
  & m_0     & m_1     & \cdots  & m_n      \\
  & m_1     & m_2     & \cdots  & m_{n+1}  \\
  & \vdots  & \vdots  & \ddots  & \vdots   \\
  & m_{n-1} & m_n     & \cdots  & m_{2n-1} \\
  & 1       & x       & \cdots  & x^n      \\
\end{vmatrix}

参考文献[編集]

関連項目[編集]