チェビシェフ多項式

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第一種チェビシェフ多項式(Chebyshev polynomials of first kind)は以下の方程式で定義される:

T_n(x)=\cos(nt), ただし x=cos t

これは三角多項式(trigonometric polynomial)の一例である。

これはcos(kt)をコサインの加法定理を用いてcos(t)の多項式で表したものと見ることができる。


\begin{align}
\cos(1t)& = \cos(t) \\
\cos(2t)& = \cos(t)\cos(t) - \sin(t)\sin(t) = 2(\cos(t))^2-1 \\
\cos(3t)& = 4(\cos(t))^3-3\cos(t) \\
\vdots&
\end{align}

従って、以下の式を得る。


\begin{align}
T_0(x)& = 1 \\
T_1(x)& = x \\
T_2(x)& = 2x^2-1 \\
T_3(x)& = 4x^3-3x \\
\vdots&
\end{align}

これらの多項式は次の漸化式に従うことがわかる。 T_{n+1}(x) = 2xT_n(x)-T_{n-1}(x) (ただしn = 1, 2, …)

第二種チェビシェフ多項式はU_{n-1}(\cos t) = \frac{\sin(n t)}{\sin (t)}によって定義される。 これは先ほどと同様の議論またはn U_{n-1}(t) = T'_n(t) の関係を用いれば類似した多項式と見ることができる。

従って、最初の数個を列挙すれば以下のようになる。


\begin{align}
U_0(x)& = 1 \\
U_1(x)& = 2x \\
U_2(x)& = 4x^2-1 \\
U_3(x)& = 8x^3-4x \\
\vdots&
\end{align}

T と同じ漸化式が U にも成りたち、 U_{n+1}(x) \;=\; 2xU_n(x)-U_{n-1}(x) (ただしn = 1,2,…) となる。

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性質[編集]

\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}
\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x) t^n = \frac{1}{1-2 t x+t^2}
(1-x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0\quad\text{ for }y=T_n(x)
(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + n(n+2)\,y = 0\quad\text{ for }y=U_n(x)

関連項目[編集]