シェファー列

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数学におけるシェファー列(シェファーれつ、: Sheffer sequence)あるいはパワーロイド(poweroid)とは、各多項式の添え字がその次数に等しく、組合せ論における陰計算英語版と関連する条件を満たすような、ある多項式列pn(x) : n = 0, 1, 2, 3, . . . } のことを言う。イサドラ・シェファー英語版の名にちなむ。

定義[編集]

多項式列 pn を固定する。多項式上のある線形作用素 Q を次のように定める。

Qp_n(x) = np_{n-1}(x)\, .

これはすべての多項式上で Q を決定する式である。この線形作用素 Q がシフト同値であるとき、多項式列 pnシェファー列と呼ばれる。ここで多項式上の線形作用素 Q がシフト同値であるとは、f(x) = g(x + a) = Ta g(x) を g(x) のシフトとするとき、(Qf)(x) = (Qg)(x + a) が成り立つことを言う。すなわち、Q はすべてのシフト作用素と可換(TaQ = QTa)である。そのような Qデルタ作用素である。

性質[編集]

すべてのシェファー列の集合は、以下で定義される陰合成(umbral composition)の作用の下でとなる。多項式列pn(x) : n = 0, 1, 2, 3, ... } と { qn(x) : n = 0, 1, 2, 3, ... } を次のように定める。

p_n(x)=\sum_{k=0}^n a_{n,k}x^k\ \mbox{and}\ q_n(x)=\sum_{k=0}^n b_{n,k}x^k.

このとき、陰合成 p \circ q とは、その n 番目の項が

(p_n\circ q)(x)=\sum_{k=0}^n a_{n,k}q_k(x)=\sum_{0\le k \le \ell \le n} a_{n,k}b_{k,\ell}x^\ell

で与えられる多項式列のことを言う。ここで下付き添え字 npn に現れるのは、その列の n 番目の項という意味を表すためであるが、q に現れないのはその多項式に関しては全体として足し上げているからである。

この群の中立元(neutral element)は、標準的な単項基底

e_n(x) = x^n = \sum_{k=0}^n \delta_{n,k} x^k

である。その二つの重要な部分群として、作用素 Q が単なる微分であるような列であるアペル列英語版と、等式

p_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}p_k(x)p_{n-k}(y)

が成立するような二項型英語版の列の群がある。

シェファー列 { pn(x) : n = 0, 1, 2, . . . } が二項型であるための必要十分条件は、

p_0(x) = 1\,

および

p_n(0) = 0\mbox{ for } n \ge 1 \,

が成立することである。

アペル列の群はアーベル群であるが、二項型の列の群はそうではない。アペル列の群は正規部分群であるが、二項型の列の群はそうではない。シェファー列の群は、アペル列の群と二項型の列の群との半直積である。アペル列の群の各傍系は、二項型の列をちょうど一つ含む。二つのシェファー列がそのような同一の傍系に含まれるための必要十分条件は、上述で定義した作用素 Q(その列のデルタ作用素と呼ばれる)がいずれの場合でも同一の線形作用素であることである。一般に、デルタ作用素は多項式上のシフト同値な線形作用素で、次数を 1 減らすものである。その用語は F. Hildebrandt による。

sn(x) がシェファー列であり、pn(x) が同一のデルタ作用素を持つ二項型の列の一つであるなら、次が成立する。

s_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}p_k(x)s_{n-k}(y).

しばしば「シェファー列」という用語は、二項型の列でこの関係式を満たすものに対して定義される。特に、{ sn(x) } がアペル列であるなら、次が成立する。

s_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^ks_{n-k}(y).

エルミート多項式の列やベルヌーイ多項式の列、単項式の集合 { xn : n = 0, 1, 2, ... } は、アペル列の例である。

シェファー列 pn は、次の指数型母関数によって特徴付けられる。

 \sum_{n=0}^\infty \frac{p_n(x)}{n!} t^n = A(t) \exp(x B(t)). \,

ただし AB は、t についての(形式的な)冪級数である。シェファー列は一般化アペル多項式の例であり、したがって対応する漸化式が存在する。

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シェファー列であるような多項式列の例として、以下が挙げられる。

参考文献[編集]

外部リンク[編集]