台 (数学)

数学における、ある関数の台（だい、英: support）とは、その関数の値が0とならない点からなる集合、あるいはそのような集合の閉包のことを言う。この概念は、解析学において特に幅広く用いられている。また、何らかの意味で有界な台を備える関数は、様々な種類の双対に関する理論において主要な役割を担っている。

定義と概要

$M$ を0を要素に持つ集合とする。この時、集合 $X$ の部分集合 $Y$ が $X$ 上の関数 $f:\to M$ の台であるとは、 $f$ が $Y$ の補集合 $X\setminus Y$ 上で恒等的に0になるときいう 。

一般には部分集合に何らかの条件を課すことも多い。

このとき $\rm{supp}(f)$ （$f$ の台）は集合論的な台（$\{x\in X:f(x)\neq 0\}$）又は、何らかの性質を備えた台の中で最小のものとして定義される。

関数 $f$ が有限な台を持つとは、定義域上の有限個の点を除いて $f$ が恒等的に0になるときいう。

位相空間上の連続関数 $f$ については台として閉台（定義域の閉部分集合で、その外部で関数が恒等的に0になるもの）を考えることが多い。 この時、$\rm{supp}(f)$ は、集合論的な台の閉包として定義される。

位相空間上の連続関数 $f$ がコンパクトな台を持つとは、定義域上のコンパクト部分集合を除いて $f$ が恒等的に0になるときいう。 このことは、定義域がハウスドルフのとき $\rm{supp}(f)$ がコンパクトになることと同値。

自然数から整数への関数の族 $\mathbb{Z}^\mathbb{N}$ は、整数列の非可算集合であるが、 その部分族 $\{f\in\mathbb{Z}^\mathbb{N}:f$ は有限な台を持つ $\}$ は、高々可算な集合である。