シュレーフリ記号

シュレーフリ記号（シュレーフリきごう、Schläfli symbol）は、正多胞体を {p,q,r,...} の形で記述する記法。なお日本語ではシュレーフリの記号とも言うが、Schläfli's symbolとはあまり言わない。19世紀スイスの幾何学者ルートヴィヒ・シュレーフリ (Ludwig Schläfli (en), 1814-1895) が発案した。

正多胞体とは、正多角形・正多面体の一般次元への一般化である。なお、線分は1次元、正多角形は2次元、正多面体は3次元の正多胞体とみなす。また、星型正多胞体と正空間充填形を正多胞体に含めて述べる（ただし、正空間充填形は1つ上の次元の正多胞体とみなす）。たとえば、3次元では星型正多面体と正平面充填形を正多面体に含める。

一様多胞体を記述できる拡張シュレーフリ記号 (extended Schläfli symbol) を含めてシュレーフリ記号と言うこともあるが、ここではまず狭義のシュレーフリ記号について述べ、拡張シュレーフリ記号については最後に述べる。

定義

次のように再帰的に適用される。

線分のシュレーフリ記号は {} である。
正p角形のシュレーフリ記号は {p}である。
n ≧ 3 のとき、各ピークに n - 1 次元正多胞体のファセット {p₁, p₂, ... ,p_{n - 2}} が q 個集まった n 次元正多胞体のシュレーフリ記号は {p₁, p₂, ... ,p_{n - 2}, q } である。

ピーク (peak)、リッジ (ridge)、ファセット (facet) とは、n 次元多胞体のそれぞれ n - 3、n - 2、n - 1 次元要素 (element) である。例えば、多面体（3次元多胞体）に対しては頂点（0次元要素）・辺（1次元要素）・面（2次元要素）、4次元多胞体に対しては辺（1次元要素）・面（2次元要素）・セル（3次元要素）である。

ある低次元要素に集まるファセットの様子は、その要素の次元が高いほど単純である。ただし、最も高次元なリッジに集まるファセットは、単純すぎて常に2個であり（たとえば、正多面体の辺には常に2面が集まる）、正多胞体の性質を現さない。そこで、次に高次元な、ピークに集まるファセットの個数を使えば、最も簡潔に多胞体の性質を表すことができる。

非整数は 5/2 のようにスラッシュを使った分数で記述する。分母（先の例では2）は、星型多角形の密度を表す。ピークに集まるファセットも、星型多角形のように密度を持ちえ、その場合分数表記される。

性質

n次元正多胞体とそのシュレーフリ記号 {p₁,p₂,...,p_{n - 1}} には以下の性質がある。

数値の個数は n - 1 個である。
正多胞体では数値は全て整数だが、星型正多胞体では1つが分数である。
3次元以上の狭義の正多胞体では、数値は 3, 4, 5 の3種類しか現れない（星型正多胞体では5/2、ユークリッド空間充填形では6が加わる）。5次元以上では3, 4の2種類しか現れない。
m 次元要素は m 次元正多胞体 {p₁,p₂,...,p_{m - 1}} である。
m 次元要素の近傍の適切な n - m - 1 次元超断面（n - m - 1 次元超平面との共通部分、断面の一般次元への拡張）は、 n - m - 1 次元正多胞体 {p_{m + 2},p_{m + 3},...,p_{n - 1}} である。
双対多胞体は {p_{n - 1},p_{n - 2},...,p₁} である。

特に、正多面体とそのシュレーフリ記号 { p, q } には以下の性質がある。

面は正 p 角形である。
各頂点には q 個の面が集まっている。つまり、頂点近傍の適切な平面での断面は正 q 多角形である。つまり、頂点を切頭すると正 q 多角形が現れる。
双対多面体は { q, p } である。

例

2次元

正n角形 - {n}
正n/m角形 - {n/m}

3次元

正四面体 - {3,3}
正六面体 - {4,3} （立方体）
正八面体 - {3,4}
正十二面体 - {5,3}
正二十面体 - {3,5}
小星型十二面体 - {5/2,5}
大十二面体 - {5,5/2}
大星型十二面体 - {5/2,3}
大二十面体 - {3,5/2}
正三角形による平面充填形 - {3,6}
正方形による平面充填形 - {4,4}
正六角形による平面充填形 - {6,3}

4次元

正五胞体 - {3,3,3}
正八胞体 - {4,3,3}
正十六胞体 - {3,3,4}
正二十四胞体 - {3,4,3}
正百二十胞体 - {5,3,3}
正六百胞体 - {3,3,5}
大壮星型百二十胞体 - {5/2,3,3}
壮六百胞体 - {3,3,5/2}
大星型百二十胞体 - {5/2,3,5}
壮百二十胞体 - {5,3,5/2}
壮星型百二十胞体 - {5/2,5,5/2}
小星型百二十胞体 - {5/2,5,3}
二十面体百二十胞体 - {3,5,5/2}
大二十面体百二十胞体 - {3,5/2,5}
大壮百二十胞体 - {5,5/2,3}
大百二十胞体 - {5,5/2,5}
立方体による空間充填形 - {4,3,4}

5次元以上

正単体 - {3,3,...,3}
正測体 - {4,3,3,...,3}
正軸体 - {3,3,...,3,4}
正測体による空間充填形 - {4,3,3,...,3,4}
正八胞体による空間充填形 - {4,3,3,4}
正十六胞体による空間充填形 - {3,3,4,3}
正二十四胞体による空間充填形 - {3,4,3,3}

直積

複数のシュレーフリ記号を { ... } × { ... } × ... × { ... } と記載することで、直積集合を表現できる。

3次元の例

正p角柱（特にアルキメデスのp角柱） - {} × {p} （{p} × {} でも可）
直方体（特に立方体） - {} × {} × {}

拡張シュレーフリ記号

シュレーフリ記号を拡張した拡張シュレーフリ記号は、一様多胞体を表すことができる。拡張シュレーフリ記号を含めてシュレーフリ記号ということもある。

一様多胞体とは、各ファセットが1次元低い一様多胞体（必ずしも合同ではない）で、各頂点の近傍が合同な多胞体である。たとえば、一様多面体（3次元一様多胞体）には正多面体、半正多面体、アルキメデスの正角柱、アルキメデスの反正角柱、およびそれらを一般化した星型多面体が含まれる。

なお、一様多胞体は各頂点の近傍が合同なため、拡張シュレーフリ記号以外に、ディンキン図形（コクセター・ディンキン図形）や頂点形状でも記述できる（ただし、4次元以上の一様多胞体の頂点形状を簡潔に記述することは難しい）。一様多面体はワイソフ記号でも記述できる。またすでに述べたとおり、アルキメデスの正角柱（およびその高次元への一般化）はシュレーフリ記号の直積でも記述できる。

3次元の例

アルキメデスのp角柱 - t{2,p}
アルキメデスの反p角柱 - s{2,p} （正式には $s{\begin{Bmatrix}2\\p\end{Bmatrix}}$ ）