出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
発散定理 (はっさんていり、英語 : divergence theorem )は、ベクトル場 の発散 を、その場によって定義される流れの面積分 に結び付けるものである。
ガウスの定理 (英語 : Gauss' theorem )とも呼ばれる。
発見
1762年 にジョゼフ=ルイ・ラグランジュ によって発見され、その後カール・フリードリヒ・ガウス (1813年)、ジョージ・グリーン (1825年)、ミハイル・オストログラツキー (1831年)によって、それぞれ独立に再発見された[1] [2] 。
オストログラツキーは、またこの定理に最初の証明を与えた人物でもある。
定理の内容
数式を用いて述べると次のようになる。まず、R 3 で定義された滑らか なベクトル場
F
=
(
F
1
,
F
2
,
F
3
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\mathit {F}}}=(F_{1},F_{2},F_{3})}
に対して F の発散 div F を
d
i
v
F
:=
∂
F
1
∂
x
+
∂
F
2
∂
y
+
∂
F
3
∂
z
{\displaystyle \mathbf {div} {\boldsymbol {\mathit {F}}}:={\frac {\partial {\mathit {F}}_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial {\mathit {F}}_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial {\mathit {F}}_{3}}{\partial z}}}
と定義する。発散は∇(ナブラ ;nabla)を用いると,
d
i
v
F
=
∇
⋅
F
{\displaystyle \mathbf {div} {\boldsymbol {\mathit {F}}}={\boldsymbol {\mathit {\nabla }}}\cdot {\boldsymbol {\mathit {F}}}}
と表され,ベクトルの内積(ドット積 )となる.
V を R 3 において滑らか(ここでは C 1 級でよい)な境界 ∂V をもつ有界な領域(= 連結開集合 )とし、F を V の閉包 で定義されている滑らかなベクトル場とすると、
∭
V
d
i
v
F
d
x
d
y
d
z
=
∬
∂
V
F
⋅
n
d
S
{\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {div} {\boldsymbol {\mathit {F}}}\,dx\,dy\,dz=\iint _{\partial V}{\boldsymbol {\mathit {F}}}\!\cdot \!{\boldsymbol {\mathit {n}}}\,dS}
が成り立つ。ここで、n は V の外向き単位法ベクトルとする。なお、定理が成り立つためには ∂V が区分的に C 1 級であれば十分である。
この定理は div という演算が発散(あるいは湧出量 )と呼ばれる所以でもある。右辺は領域 V から流れ出す量であり、それが全ての発散を合わせたものに等しくなっている。
この定理は、一般的なストークスの定理 から導くことができる。
一般化されたストークスの定理との対応
発散定理は、以下のように一般化されたストークスの定理 において、2次微分形式 のωを考えた場合に相当する。
∫
∂
V
ω
=
∫
V
d
ω
{\displaystyle \int _{\partial V}\omega =\int _{V}d\omega }
ここでωは
ω
:=
F
1
d
y
∧
d
z
+
F
2
d
z
∧
d
x
+
F
3
d
x
∧
d
y
{\displaystyle \omega :=F_{1}dy\wedge dz+F_{2}dz\wedge dx+F_{3}dx\wedge dy}
であり、その外微分 は次式で与えられる。
d
ω
:=
(
∂
F
1
∂
x
+
∂
F
2
∂
y
+
∂
F
3
∂
z
)
d
x
∧
d
y
∧
d
z
{\displaystyle d\omega :={\biggl (}{\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}{\biggr )}dx\wedge dy\wedge dz}
応用
発散定理を電磁気学 に応用して、電荷から湧き出す電場についてのガウスの法則 を数学的に記述できる(⇒マクスウェルの方程式 )。
∮
S
d
S
⋅
E
=
Q
ε
0
=
1
ε
0
∫
V
d
V
ρ
{\displaystyle \oint _{S}\mathrm {d} {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {E}}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}\mathrm {d} V\rho }
d
i
v
E
=
ρ
ε
0
{\displaystyle \mathrm {div} {\boldsymbol {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}
脚注
^
C. F. Gauss, Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstossungs-kräfte , Res. Beob. magn. Vereins 4 , 1, 1840
^ オストログラツキーは発散定理を1828年にパリで口頭報告しているものの、その内容は公刊されず、1831年のサンクトペテルブルクでの学会報告のみが残されている。
M. Ostorgradsky, Note sur la théorie de la chaleur, Mém. Acad Sci. St.-Pétersb . 1 , 129, 1831; Deuxième note sur la théorie de la chaleur, ibid . 1 , 123,1831
参考文献
関連項目