閉微分形式

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微分位相幾何学における微分形式 (closed) である、または閉微分形式(へいびぶんけいしき、: closed differential form、短く閉形式 (closed form) とは、その外微分が零となるときに言う。

シュヴァルツの定理により、C1-フランス語版函数係数の任意の完全微分形式は閉微分形式である。ポワンカレの補題はこの部分的なを保証する。

一次微分形式の場合[編集]

n-次元の 1-形式 であるとは、

が成り立つことである。これは全部で n(n – 1)/2 この条件を満足することを言っている。

  • 一次元の場合、可微分 1-形式 ω := A(x)dx は常に閉である。
  • 二次元の場合、1-形式 ω := A(x, y)dx + B(x, y)dy が閉となるのは、
    を満たすときである。
  • 三次元の場合、1-形式 ω := A(x, y, z)dx + B(x, y, z)dy + C(x, y, z)dz が閉となるのは、
    となるときである。これは Ω := t(A, B, C) に対して rot Ω = 0 となることに対応する。

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注釈[編集]

出典[編集]

参考文献[編集]

  • (フランス語) Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [要文献特定詳細情報]
  • (フランス語) Samuel Ferdinand Lubbe, Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, Bachelier, 1832 [lire en ligne]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]

  • Stover, Christopher; Weisstein, Eric W.. "Closed Form". MathWorld(英語).
  • closed (differential form) - PlanetMath.(英語)
  • closed differential forms on a simply connected domain - PlanetMath.(英語)
  • closed form in nLab