真近点角

真近点角（しんきんてんかく、true anomaly）とは、天文学・天体力学において、ケプラーの法則に従う軌道運動を行う質点 (天体) の、ある時刻における軌道上の位置を表すパラメータの1つである。真近点離角と呼ぶこともある。

真近点離角 f は、主星と軌道の近点がなす半直線 (つまりラプラス・ルンゲ・レンツベクトル) と主星と天体を結ぶ半直線 (つまり位置ベクトル) がなす角として定義される。つまり、右図においてp を天体の位置、z を近点、s を焦点 (主星の位置) としたときの角 $\nu =\angle zsp$ のことを言う。従って、主星と天体の距離 r は、真近点角 $\nu$ の関数として

r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos \nu }}

という形に表示することができる^[1]。ここに a は軌道長半径、e は離心率である。

他の離角との関係[編集]

真近点角はその時間依存性および動径 r との関係がともに複雑であるため、種々の計算の際には離心近点角 E を用いる方が便利である。これは真近点角 $\nu$ と

\tan {\frac {\nu }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan {\frac {E}{2}}

という関係にあるが、この等式は $\beta ={\frac {1}{e}}\left(1-{\sqrt {1-e^{2}}}\right)$ を用いて

{\begin{aligned}\nu &=E+\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {2}{s}}\beta ^{s}\sin sE\\&=E+2\left(\beta \sin E+{\frac {\beta ^{2}}{2}}\sin 2E+{\frac {\beta ^{3}}{3}}\sin 3E+{\frac {\beta ^{4}}{4}}\sin 4E+\cdots \right)\end{aligned}}

という級数の形に書き直すことができる^[2]。この級数により、天体の離心近点角 E が求まっているならば真近点角 $\nu$ を計算することができる。

あるいは、離心近点角 E と平均近点角 M の関係はケプラー方程式を解くことにより求まるが、それを真近点角 $\nu$ と平均近点角 M によるフーリエ級数表示に書き直すと

{\begin{aligned}\nu &=M+2e\sin M+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin 2M+e^{3}\left({\frac {13}{12}}\sin 3M-{\frac {1}{4}}\sin M\right)\\&+e^{4}\left({\frac {103}{96}}\sin 4M-{\frac {11}{24}}\sin 2M\right)\\&+e^{5}\left({\frac {1097}{960}}\sin 5M-{\frac {43}{64}}\sin 3M+{\frac {5}{96}}\sin M\right)\\&+e^{6}\left({\frac {1223}{960}}\sin 6M-{\frac {451}{480}}\sin 4M-{\frac {11}{24}}\sin 2M\right)+\cdots \end{aligned}}

となる^[3]。

脚注[編集]

^ 『離心近点角』 - 天文学辞典（日本天文学会）
^ Brouwer & Clemence, Methods of Celestial Mechanics, Academic Press, New York and London, 1961, ISBN 978-1483212357. pp. 62-63.
^ Brouwer & Clemence, Methods of Celestial Mechanics, Academic Press, New York and London, 1961, ISBN 978-1483212357. pp. 77.

他の離角との関係[編集]

脚注[編集]

関連項目[編集]