離心近点角

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離心近点角(りしんきんてんかく、Eccentric anomaly)とは、近点・遠点とある時点での軌道上の位置の間にできる角のことである。軌道の楕円外接円は主軸に対して垂直になり、楕円の中心を向いている。下記の図では、zcxで表されるEの角に相当する。

Kepler's-equation-scheme.png

計算[編集]

軌道力学では、離心近点角Eは次の式で計算できる。

E=\arccos {{1-\left | \mathbf{r} \right | / a} \over e}

ここで、

を表している。

離心近点角E平均近点角Mの関係は

M = E - e \cdot \sin{E}.\,\!

と表される。 e (e < 0.6627434 )の値は小さいため、E_0 = Mという初項を使って、E_{i+1} = M + e\,\sin E_iという漸化式によりこの方程式を解くことができる。 最初の数項におけるe冪級数は次のようになる。

  • E_1 = M + e\,\sin M
  • E_2 = M + e\,\sin M + \frac{1}{2} e^2 \sin 2M
  • E_3 = M + e\,\sin M + \frac{1}{2} e^2 \sin 2M + \frac{1}{8} e^3 (3\sin 3M - \sin M)

離心近点角E真近点角Tの関係は、

\cos{T} = {{\cos{E} - e} \over {1 - e \cdot \cos{E}}}

または変形して

\tan{T \over 2} = \sqrt{{{1+e} \over {1-e}}} \tan{E \over 2}.\,

と書ける。

半径(位置ベクトルの大きさ)と近点角の関係は、

r = a \left ( 1 - e \cdot \cos{E} \right )\,\!
r = a{(1 - e^2) \over (1 + e \cdot \cos{T})}.\,\!

と表せる。

関連項目[編集]