二体問題

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二体問題(にたいもんだい、: Two-body problem)は、古典力学において互いに相互作用を及ぼす2つの点の動きを扱う問題と定義できる。身近な例としては、惑星の周りを回る衛星恒星の周りを回る惑星、共通の重心の周りを回る連星や、原子核の周りを回る古典的な電子などである。

全ての二体問題は、独立した一体問題に帰着させて解くことができる。しかし、三体問題やそれ以上の多体問題は、特別な場合を除いて解くことはできない。

Orbit5.gif Orbit2.gif

問題の記述[編集]

を2つの物体の位置、を2つの物体の質量とすると、二体問題の目的は全ての時間に対して軌跡及びを確定させることである。

最初の位置を

最初の速さを

と置くと、運動の第2法則により

と書ける。ここで、

は質量1が質量2から受ける力であり、
は質量2が質量1から受ける力である。

この連立方程式を加減して、2つの一体問題に帰着させ、解くことができる。式1と式2を足すと、重心の運動を表す方程式になる。式1から式2を引くと、ベクトルの経時変化となる。2つの解を組み合わせることで、軌跡が記述できる。

重心の動き[編集]

式1と式2を足すと、

となる。ここで運動の第3法則を使うと、

となり、これは重心の位置を表す。ここから得られる式

は、重心の速度と、 全運動量が一定であることを意味する。 つまり、重心の位置と速度は、初期位置と初期速度から一意に決まる。

変位ベクトルの動き[編集]

上の式を相対質量で割り、1式から2式を引くと、

が得られる。ここで、は、質量2から質量1への変位ベクトルである。

2つの物体に働く力はの関数となり、の絶対値には関係しない。 この式は次のように書ける。

ここで換算質量であり、

である。

を使うと、軌跡の方程式は

と書ける。

関連項目[編集]