「ユニタリ群」の版間の差分
削除された内容 追加された内容
テンプレートを追加・表記を修正 |
ARAKI Satoru (会話 | 投稿記録) 一般の定義を記すほか |
||
1行目: | 1行目: | ||
{{Groups}} |
{{Groups}} |
||
''n''次の'''ユニタリ群'''(ユニタリぐん、{{lang-en|unitary group}}) U(''n'') とは、''n''次[[ユニタリ行列]]の |
''n'' 次の'''ユニタリ群'''(ユニタリぐん、{{lang-en-short|unitary group}}) U(''n'') とは、''n'' 次[[ユニタリ行列]]のなす[[群 (数学)|群]]のことである。[[演算]]は[[行列の積]]で与えられる。 |
||
ユニタリ群は[[一般線型群]] |
ユニタリ群は[[一般線型群]]の[[部分群]]である。 |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
=== 複素数体上のユニタリ群 === |
|||
:<math>\begin{align} |
|||
\operatorname{U}(n) |
|||
&= \{\, U \in \operatorname{GL}(n,\mathbb{C}) \mid \forall x, y \in \mathbb{C}^n : \langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle \,\} \\ |
|||
⚫ | |||
\end{align}</math> |
|||
⚫ | |||
つまりユニタリ群の元は有限次複素線型空間のエルミート形式を―したがって[[ノルム]]を―保つ。これは「絶対値が 1 の複素数」の線型変換における類似物である<ref>Finite-Dimensional Vector Spaces (Paul R. Halmos) §59</ref>。 |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
=== 一般の体上のユニタリ群 === |
|||
⚫ | |||
ユニタリ群は一般の[[体]]上では次のように定義される。 |
|||
⚫ | |||
基礎体 ''K'' の2次[[拡大体]] ''L'' をとる。 |
|||
⚫ | |||
線型空間 ''V'' = ''L<sup>n</sup>'' 上の[[エルミート形式]] |
|||
:<math> \langle x, y \rangle = x_1 \overline{y_1} + \dotsb + x_n \overline{y_n} \qquad \big(x = (x_i),\ y = (y_i) \in V\big) </math> |
|||
(ここで <math>\overline{y_i}</math> は[[代数共役]]を表す) |
|||
を不変に保つ ''V'' 上の線型[[自己同型]]写像のなす群を U(''n'', ''K'', ''L'') と表し、これを'''ユニタリ群'''という。 |
|||
:<math> \operatorname{U}(n, K, L) = \{\, U \in \operatorname{GL}(n, L) \mid \forall x, y \in V : \langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle \,\} </math> |
|||
== 例 == |
|||
[[有限体#構成例|4元体]]を '''F'''<sub>4</sub> = {0, 1, ω, ω<sup>2</sup>} とする。 |
|||
ただし演算は関係式 ω<sup>2</sub> + ω + 1 = 0 から定める。 このとき U(2, '''F'''<sub>2</sub>, '''F'''<sub>4</sub>) は位数18の群で次の2元から生成される。 |
|||
:<math> |
|||
\operatorname{U}(2, \mathbb{F}_2, \mathbb{F}_4) = \Big\langle |
|||
\begin{pmatrix} \omega & \omega \\ 0 & \omega \end{pmatrix},\ |
|||
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \Big\rangle |
|||
</math> |
|||
== 性質 == |
|||
複素数体上のユニタリ群は以下の性質を満たす。 |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
== 関連項目 == |
== 関連項目 == |
||
*[[特殊ユニタリ群]] |
|||
*[[リー群]] |
*[[リー群]] |
||
== 脚注 == |
|||
<references /> |
|||
{{Math-stub}} |
{{Math-stub}} |
||
{{デフォルトソート:ゆにたりくん}} |
{{デフォルトソート:ゆにたりくん}} |
2014年6月4日 (水) 16:30時点における版
代数的構造 → 群論 群論 |
---|
n 次のユニタリ群(ユニタリぐん、英: unitary group) U(n) とは、n 次ユニタリ行列のなす群のことである。演算は行列の積で与えられる。
定義
複素数体上のユニタリ群
ここで GL(n, C) は一般線型群、〈-, -〉はエルミート形式、†はエルミート共役である。
つまりユニタリ群の元は有限次複素線型空間のエルミート形式を―したがってノルムを―保つ。これは「絶対値が 1 の複素数」の線型変換における類似物である[1]。
一般の体上のユニタリ群
ユニタリ群は一般の体上では次のように定義される。 基礎体 K の2次拡大体 L をとる。 線型空間 V = Ln 上のエルミート形式
(ここで は代数共役を表す) を不変に保つ V 上の線型自己同型写像のなす群を U(n, K, L) と表し、これをユニタリ群という。
例
4元体を F4 = {0, 1, ω, ω2} とする。 ただし演算は関係式 ω2 + ω + 1 = 0 から定める。 このとき U(2, F2, F4) は位数18の群で次の2元から生成される。
性質
複素数体上のユニタリ群は以下の性質を満たす。
- 最も単純な n = 1 の U(1) は巡回群に対応し、絶対値が1の複素数からなる。全てのユニタリ群は U(1) のコピーを含む。
- ユニタリ群 U(n) は次元 n2 の実リー群である。
- U(n) のリー代数は n 次歪エルミート行列からなり、その括弧積は交換子で与えられる。
関連項目
脚注
- ^ Finite-Dimensional Vector Spaces (Paul R. Halmos) §59