エルミート形式

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数学線型代数学におけるエルミート積 (Hermitian product), エルミート半双線型形式 (Hermitian Sesqui­linear form) あるいは単にエルミート形式(エルミートけいしき、: Hermitian form)は、シャルル・エルミートに名を因む特別な種類の半双線型形式で、対称双線型形式の複素版にあたる。

複素線型空間 V とその上のエルミート形式 〈,〉 との組 (V,〈,〉), あるいは同じことだが対応する「二次形式」Q(z) = 〈z, z との組 (V, Q)エルミート空間(あるいはエルミート二次空間)と呼ぶ。

定義[編集]

V複素数 C 上のベクトル空間とすると、エルミート半双線型形式とは、写像 〈,〉: V × VC で以下を満たすものを言う: x, y, zV および aC は任意として

  1. 偏線型性: x, ay + z〉 = ax, y〉 + 〈x, z
  2. 偏半線型性: ax + y, z〉 = ax, z〉 + 〈y, z
  3. エルミート対称性: x, y〉 = y, x

ここに、上付きの横棒 複素共軛をとる演算を表す。

  • 引数の一方が線型で他方が半線型となるが、線型と半線型は上記と逆に仮定する流儀もある。
  • 条件 1, 2 はこの写像が半双線型となることを言うものであるが、実は条件 3 の仮定のもと 1 から 2, あるいは 2 から 1 が導かれるから、一方の条件は不要である。ここでは明確化のために両者を掲げてある。

エルミート半双線型形式は複素数体 C 上で意味を成す概念である(実数体 R 上では任意のエルミート半双線型形式が対称双線型形式になる)。複素線型空間(あるいは複素ヒルベルト空間)上の内積(エルミート内積)は非退化正定値のエルミート半双線型形式である。

より一般に、環上の加群 M に対して、係数環 R 上定義される任意の対合反自己同型英語版 σ に関する半双線型形式 〈,〉: M × MR がエルミートであるとは、x, y〉 = 〈y, xσ を満たすことを言う。さらに、ε は係数環の中心元として、ε-エルミートであるとは x, y〉 = εy, xσ となるときに言う[1]

エルミート二次形式[編集]

エルミート半双線型形式に対しても極化恒等式英語版が適用できる。従って、エルミート半双線型形式は対角成分における値 Q(z) = 〈z, z のみによって他の全ての値も決定される。この「二次形式」Q が常に実数値であることに注意せよ。実は与えられた半双線型形式がエルミートであることと、対応する二次形式が実数値であることとは同値になる。

標準形式[編集]

複素数ベクトル空間 Cn における

標準エルミート形式あるいは標準エルミート内積と呼ぶ。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  • 佐武, 一郎 『線型代数学』 裳華房、1974年

注釈[編集]

  1. ^  Nicolas Bourbaki: Algèbre (= Éléments de mathématique). Springer, Berlin 2007, ISBN 3-540-35338-0, 9, S. 49.

外部リンク[編集]