凹関数

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数学凹関数: concave function)とは、凸関数になったものである。ある関数が凹であるとき、その関数は下に凹である、または上に凸であるなどという。

定義[編集]

凹関数のグラフ

実関数fがある区間(あるいはもっと一般的に言えば、ベクトル空間内での凸集合)で凹であるとは、f が区間内の実数 x および y, それに区間 [0, 1] 内の任意の実数について次の不等式を満たしていることである[1]

狭義の凹関数とは、以下の不等式を満たす関数のことである。ただし α は区間 (0, 1) にあり、xy である。

関数 f: RR については、xy の間の任意の z について、fグラフ上の点 (z, f(z))(x, f(x))(y, f(y)) を結ぶ直線上にあることを示している。関数 f の上方外形集合英語版 が凸集合であるとき、その関数は準凹関数英語版と呼ばれる[2]:496

性質[編集]

  • ある関数 f が凸集合内で凹であることは、同じ集合内で関数 f が凸関数であることと同値である。
  • 微分可能関数 f のある区間における導関数 f がその区間内で単調減少するとき、その区間で f は凹である。(このときこの区間内で f微分係数0 以下である。またこの場合の単調減少は、広義単調減少であり、減少するか、一定値となることを表している。)
  • 凸性が変化する(凸と凹が入れ替わる点)は変曲点と呼ばれる。
  • 2つの凹関数の和の関数も凹であり、2つの凹関数の和は点ごと英語版の最小値となる。つまり、2つの関数が作る集合は2つの定義域においてセミフィールド英語版を作る。
  • 区間内での関数の極大値周辺では、その関数は必ず凹になる。また、凹関数で微分係数が 0 になる点では、その関数は極大値をとる。
  • f が2回微分可能ならば、f が凹であることの必要十分条件は f ′′ が正でない(あるいは加速度が正でない)ことである。第二次導関数が負の数 (英語版) ならばその関数は凹だが、そのは成立しない。例: f(x) = −x4.
  • 凹関数の極大値は、その関数が凹である区間内で最大値もある。狭義凹関数は少なくとも1つ最大値を持つ。
  • f が凹関数かつ微分可能であるとき、f は、f の1次のテイラー近似で上から抑えられる[2]:489
  • 集合 C 上の連続関数が凹であるための必要十分条件は C の任意の元 x, y について以下の不等式が成り立つことである。
  • 関数 f が凹であり、f(0) ≥ 0 であるとき、f劣加法性を持つ。証明は以下の通り。
  • f が凹であるから、y = 0 とおくと、f(tx) = f(tx + (1 − t) ⋅ 0) ≥ tf(x) + (1 − t)f(0) ≥ tf(x) となる。したがって

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  • 関数 は定義域において第二次導関数英語版を持ち(それぞれ )両者は常に負である。
  • 対数関数 は定義域 において常に凹である。そして f(x) の導関数 1/x は狭義単調減少関数である。
  • アフィン写像である f(x) = ax + b は凸関数でありかつ凹関数でもある。しかし狭義の凸でも狭義の凹でもない。
  • 正弦関数は区間 [0, π] で凹関数である。
  • 関数 は凹関数である。ただし |B|非負定値な行列 B行列式である[3]
  • 光線屈折計算英語版に、関数の凹性が用いられている。

関連項目[編集]

脚注[編集]

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  1. ^ LENHART, S.; WORKMAN, J. T, Optimal Control Applied to biological models, チャップマン・アンド・ホール英語版/ CRC英語版、Mathematical and Computational Biology Series, 2007.
  2. ^ a b Varian, Hal (1992). Microeconomic Analysis (3rd ed.). ニューヨーク: W.W.ノートン・アンド・カンパニー英語版. ISBN 0393957357. 
  3. ^ Thomas M. Cover and J. A. Thomas (1988). “Determinant inequalities via information theory”. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 9 (3): 384–392. doi:10.1137/0609033. 

参考文献[編集]