実数値関数

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実数値関数(じっすうちかんすう、: real-valued function)、あるいは実関数(じつかんすう、: real function)とは、として実数を与える関数をいう。つまり、定義域のそれぞれのに対し実数を割り当てる関数のことである。

多くの重要な関数空間が、いくつかの実数値関数からなるものとして定義されている。

一般の実数値関数[編集]

X任意集合とする。F(X, R)X から R への関数全体の集合で表すものとする。R可換体であるので、F(X, R)ベクトル空間であり、実数上の結合多元環は、以下のように定義できる。

  1. ベクトル和: f + g: xf(x) + g(x)
  2. 加法単位元: 0: x ↦ 0
  3. スカラーとの積: cf: xcf(x), cR
  4. 各点ごとの積: fg: xf(x)g(x)

また、R順序集合であることから、F(X, R) には以下のような半順序が入る。

これによって、F(X, R)半順序環英語版とある。

可測な実数値関数[編集]

ボレル集合σ-代数実数上に定義される重要な構造である。Xσ-代数を持ち、関数 f が、すべてのボレル集合 B に対して、その原像 f−1(B)Xσ-代数に属しているとき、f可測であるという。この可測関数はまた、うえで説明したようなベクトル空間と代数をつくる。 

連続な実数値関数[編集]

実数は、位相空間であり完備距離空間である。連続な実数値関数(これは暗黙のうちに X が位相空間であることを主張する)は位相空間や距離空間の理論で重要なものである。極値定理は、コンパクト空間上のすべての連続な実数値関数には(極小、極大にとどまらない大域的な)最小値と最大値が存在することを主張する。