劣加法性

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数学の分野における劣加法性(れつかほうせい、: subadditivity)とは、大まかに言うと、定義域に含まれる二つのの和についての関数の値が、それら各元についての関数の値の和よりも常に小さいか等しい、という性質のことを言う。数学の様々な研究領域、特にノルム平方根などに関する領域において、数多くの劣化法的関数の例が知られている。加法的関数は、劣加法的関数の特別な場合である。

定義[編集]

劣加法的関数とは、加法について閉じている定義域 A順序付き余域英語版 B を備え、次の性質を満たすような関数 f \colon A \to B のことである:

\forall x, y \in A, f(x+y)\leq f(x)+f(y).

そのような例として、非負実数を定義域かつ余域として備えるような平方根関数が考えられる。実際、すべての x, y \geq 0 に対して

\sqrt{x+y}\leq \sqrt{x}+\sqrt{y}

が成立する。

\left \{ a_n \right \}, n \geq 1 は、不等式

(1) \qquad a_{n+m}\leq a_n+a_m

をすべての m および n に対して満たすとき、劣加法的であると言われる。

性質[編集]

劣加法的な列に関する一つの有用な結果として、フェケテ・ミハーイ英語版による次の補題が挙げられる[1]

フェケテの劣加法性の補題: すべての劣加法的な列 {\left \{ a_n \right \}}_{n=1}^\infty には、極限 \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} が存在し、その値は \inf \frac{a_n}{n} と等しい(極限の値は -\infty となることもある)。

優加法的な列、すなわち a_{n+m}\geq a_n + a_m であるような列に対しても、フェケテの補題と同様の結果が得られる(極限の値は \infty となることもある: 例えば、a_n = \log n! の場合など)。

不等式 (1) がすべての m および n について成立するとは限らない場合にも、フェケテの補題の拡張版が存在する。ある種の優加法性と劣加法性が共に存在するとき、フェケテの補題によって存在の認められている極限へと収束する割合を導くような結果も知られている[2][3]

f が劣加法的関数で、0 がその定義域に含まれているなら、f(0) ≥ 0 が成立する。実際、f(x) \ge f(x+y) - f(y) であるために f(0) \ge f(0+y) - f(y) = 0 が得られる。

f(0) = 0 であるような凹関数 f: [0,\infty) \to [0,\infty) も劣加法的である。実際、f(x) \ge 0 f(0) + \textstyle{\frac{x}{x+y}} f(x+y) であることから、f(x) および f(y) に対するこの上限の適当に重み付けられた和によって、f が劣加法的であるということが分かる[4]

劣加法的関数にマイナスをかけたものは優加法的となる。

経済学[編集]

劣加法性は、ある特定の費用関数cost functionにとって本質的な性質である。一般的に、それは、自然独占を確かめるための必要十分条件となる。それは、唯一つの企業による生産が、等しい数の企業で元々の量を割った割合による生産よりも、(平均費用の意味で)廉価であることを意味する。

規模の経済は、劣加法的な平均費用英語版関数によって表現される。

一般的に、(数量の関数としての)商品の価格は、劣加法的でなければならない。さもなければ、二つの商品の個別の費用の和が、それらを束としてまとめた費用よりも安いということになり、そのような束買いをするような人がいなくなってしまうため、結果として、そのような束の価格が、それら個別の商品のそれぞれの価格の和と等しいものに「なる」であろう。

関連項目[編集]

注釈[編集]

  1. ^ Fekete, M. "Uber die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit. ganzzahligen Koeffizienten." Mathematische Zeitschrift 17 (1923), pp. 228–249.
  2. ^ Michael J. Steele. "Probability theory and combinatorial optimization". SIAM, Philadelphia (1997). ISBN 0-89871-380-3.
  3. ^ Michael J. Steele (2011年). CBMS Lectures on Probability Theory and Combinatorial Optimization. University of Cambridge.. http://sms.cam.ac.uk/collection/1189351 
  4. ^ Schechter, Eric (1997). Handbook of Analysis and its Foundations. San Diego: Academic Press. ISBN 126227608. , p.314,12.25

参考文献[編集]